第24题解法列举

2006年高考物理[全国卷I]第24题解法列举

试题：
24.（19分）一水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为。初始时，传送带与煤块都是静止的。现让传送带以恒定的加速度a0开始运动,当其速度达到v0后,便以此速度做匀速运动。经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动。求此黑色痕迹的长度。

解法一：（国标） 
 根据“传送带上有黑色痕迹”可知，煤块与传送带之间发生了相对运动，煤块的加速度a小于传送带的加速度a0。根据牛顿定律，可得
             （1）
 设经历时间t1,传送带由静止开始加速到速度等于v0,煤块则由静止加速到v,有：
 v0=a0t1         (2) 
 v=at1          (3) 
    由于a<a0，故v<v0，煤块继续受到滑动摩擦力的作用。再经过时间t’，煤块的速度由v增加到v0，有：  
        v0=v+at’       (4)
 设在煤块的速度从0增加到v0的整个过程中，传送带和煤块位移分别为s0和s，有：
        （5）  （等效式：）
               （6）  （等效式：）
 传送带上留下的黑色痕迹的长度
                    （7）
解法二：（直接法）
设传送带加速到的时间为
              (1) 
设煤块加速到的时间为
            (2)    [等效式：运用动量定理]
           （3）
皮带运动的总位移：
S1=    (4)   [等效式：S1=]
煤块运动的位移：
           (5)
[等效式：  或运用动能定理   ]
黑色痕迹长度：          (6)
由以上各式得：      (7)
解法三：（图像法）
煤块的加速度：              (1)
煤块加速到v0 的时间：     (2)
（以上两式的等效式：）
传送皮带加速到v0 的时间：     (3)
由此可得煤块与传送带运动过程的v—t图像如图所示：

黑色痕迹的长度可用图中阴影部分的面积计算得到：

           (4)
[等效式：=梯形OABC面积-三角形OBC面积=]
          (5)
 解法四：（相对运动法）
 以传送带为参照，煤块相对于传送带向后先作匀加速运动再作匀减速运动：
 匀加速阶段： 相对加速度大小：      （1）
              相对初速度：
              加速时间：                 （2）
              相对位移：               （3）
 [等效式：  ]
 匀减速阶段：相对加速度大小：            （4）
             相对末速度：        
             设减速时间为
             则有：                 （5）
 [等效式：  ]
             相对位移：             （6）
 [等效式：  ]
     黑色痕迹长度：                  （7）
     综合以上多式得：            （8）
 说明：1  匀加速阶段相对末速度，结合和，两式等效（3）式与（6）式
用相对速度随时间变化图像，v相－t图如图所示：结合与两式，等效（3）（6）（7）式。

解法五：（综合法）
 煤块：从速度从0加速到V0的位移为      （1）
 传送带：从速度从0加速到V0的位移为     （2）
 由图像结合几何关系可得： （3）