06年高考试题中的碰撞问题

06 年高考试题中的碰撞问题

打击、碰撞问题与日常生活息息相关，很多实际情景可提炼抽象成碰撞模型，这类问题的背景材料十分丰富。另外，打击、碰撞过程中相互作用的两个物体在打击、碰撞前后各自可有丰富的运动形式，从前些年的直线运动，到06年的圆周、平抛运动；碰撞的对象非常广泛，大到宇宙中的天体，小到微观粒子，这类问题又能够将高中的主干知识贯穿起来。因此，在题量少，分值大的理综考试模式中更是频频出现。06年的天津、四川、重庆理综卷，单独考试的江苏、广东卷中都出了大题，其中四川、重庆和广东卷更是以压轴题形式出现。品读这些题目，其突出表现为三大特点：一是，碰撞的形式丰富，囊括了所有的类型，从天津、四川、重庆、广东卷中的正碰到江苏卷中的斜碰（巧取参考系后，可转化为正碰）。碰撞中又涉及到弹性碰撞（重庆卷）、非弹性碰撞（四川卷）、完全非弹性碰撞（天津卷）；二是，碰撞前后物体的运动形式非常丰富，从沿袭以往的直线运动（天津卷）到受轨道制约的圆周运动（重庆卷），复合场中的平抛和圆周运动（四川卷）；三是，碰撞呈现出周期性（重庆和广东卷）。
正碰问题
碰撞过程的前后，相互作用的物体的速度在一条直线上的碰撞问题。
⑴弹性碰撞
弹性碰撞是指碰撞过程中的动量守恒，机械能守恒。
例1、（06年重庆理综压轴题）如图所示，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内。小球A、B质量分别为m、βm(β为待定系数)。A球从左边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B球相撞，碰撞后A、B球能达到的最大高度均为,碰撞中无机械能损失。重力加速度为g。试求：
(1)待定系数β；
(2)第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力；
(3)小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度。
解析：A、B可看作质点， A、B在轨道最低点发生弹性正碰。
（1）由得

（2）设 A、B 碰撞后的速度分别为、，则


   设向右为正、向左为负，解得
   ，方向向左
   ，方向向右
设轨道对 B 球的支持力为 N， B 球对轨道的压力为N′，方向竖直向上为正、向下为负．则，，方向竖直向下
（3）设 A、B 球第二次碰撞刚结束时的速度分别为 V1、V2，则

解得（另一组解：V1=－，V2=－不合题意，舍去）
由此可得：
当 n为奇数时，小球 A、B 在第 n次碰撞刚结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同；
当 n为偶数时，小球 A、B 在第 n次碰撞刚结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同；
⑵非弹性碰撞
非弹性碰撞的特点是，碰撞过程中动量守恒，机械能有损失，但损失的不是最多。
例2、（06年四川理综压轴题）如图所示，在足够大的空间范围内，同时存在着竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度B=1.57T。小球1带正电，其电量与质量之比q1/m1=4 C/kg，所受重力与电场力的大小相等；小球2不带电，静止放置于固定的水平悬空支架上。小球1向右以=23.59 m/s的水平速度与小球2正碰，碰后经过0.75 s再次相碰。设碰撞前后两小球带电情况不发生改变，且始终保持在同一竖直平面内。
（取g=10 m/s2)
问(1)电场强度E的大小是多少？
(2)两小球的质量之比是多少？
解析：(1)小球1所受的重力与电场力始终平衡
        ①
         ②
(2)相碰后小球1做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：
                          ③
半径为                                      ④
周期为                                ⑤
因为两小球运动时间
所以小球1只能逆时针经个圆周时与小球2再次相碰        ⑥
第一次相碰后小球2作平抛运动              ⑦
                       ⑧
两小球第一次碰撞前后动量守恒，以水平向右为正方向
                         ⑨
由⑦、⑧式得
由④式得                  17.66 m/s
所以两小球质量之比                       ⑩
由以上解析过程知，1、2小球发生的是非弹性正碰。
⑶完全非弹性碰撞
完全非弹性碰撞跟非弹性碰撞的区别仅在于这时能量损失最多，特点是碰后两者达到共同速度。
例 3、（06年天津理综）如图所示，坡道顶端距水平面高度为h，质量为m1 的小物块A从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的滑道时无机械能损失，为使A制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M处的墙上，另一端与质量为 m2 档板 B相连，弹簧处于原长时，B恰位于滑道的末端 O点。A与B碰撞时间极短，碰后结合在一起共同压缩弹簧，已知在 OM段 A、B 与水平面间的动摩擦因数均为，其余各处的摩擦不计，重力加速度为 g ，求
（1）物块 A在与挡板 B碰撞前瞬间速度的大小；
（2）弹簧最大压缩量为 d时的弹性势能 Ep（设弹簧处于原长时弹性势能为零）。
解析：A、B碰后结合在一起运动，则表明碰撞是完全非弹性碰撞。
（1）由机械能守恒定律，有


（2）A、B在碰撞过程中内力远大于外力，由动量守恒，有

A、B克服摩擦力所做的功

由能量守恒定律，有

解得
　　　　　　　　　⑥
二斜碰
碰撞过程的前后，相互作用的物体的速度不在一条直线上的碰撞问题。
例 4、（06年江苏卷）如图所示，质量均为 m的 A、B两个弹性小球，用长为 2l的不可伸长的轻绳连接。现把 A、B两球置于距地面高 H处（H足够大），间距为 l 。当 A球自由下落的同时，B球以速度指向A球水平抛出。求：
（1）两球从开始运动到相碰，A球下落的高度。
（2）A、B两球碰撞（碰撞时无机械能损失）后，各自速度的水平分量。
（3）轻绳拉直过程中，B球受到绳子拉力的冲量大小。
解析：碰前A做自由落体运动，速度方向竖直向下，B做平抛运动，速度与竖直方向存在一夹角，因此是斜碰。
（1）设 A球下落的高度为 h
                                        ①
                                       ②
联立①②得
                                           ③
（2）由水平方向动量守恒得
                               ④
由机械能守恒得
⑤
式中，
联立④⑤得
，
⑶A、B两球竖直方向同步运动，绳子绷直时绳子上产生的弹力只沿水平方向，由水平方向动量守恒得

另解：若以跟A、B同时做自由落体运动的物体为参考系，则可把斜碰转化为正碰。
（2）由A、B相碰过程中，动量守恒，机械能守恒得

解得，
⑶绳子绷直过程中动量守恒

   B球受到绳子拉力的冲量为

06年广东卷涉及到的碰撞情况很简单，这里不再赘述。