三力平衡问题中极值的求解方法

三力平衡问题中极值的求解方法

三力平衡是最常见的类型，在这种类型中的时涉及由于其中一个力方向的缓慢变化引起两力的大小改变，这种情况称为动态平衡，且往往存在极值问题，下面通过一例谈谈此类问题极值的求解方法。
 题目：如图所示，在绳下端挂一质量为m的物体，用力F拉绳使悬绳偏离竖直方向α角，且方向，当拉力F与水平方向的夹角θ多大时F有最小值？最小值是多少？
 解法一、常规解析法：以结点O为研究对象，画出受力图，建立坐标轴，如图所示：根据平衡条件有：
 Fcosθ－Tsinα＝0　　　　　　　　　
 Fsinθ＋Tcosα－mg＝0　　　　　　　
 由两式消去Ｔ可得
 F＝mgsinα/cos (α－θ)
 所以当（α－θ）=0，即θ＝α时Ｆ有最小值，且
 Fmin＝ mgsinα。
 此法是求解共点力平衡问题的普遍适用的基本方法，难点在于力的分解和求解方程组。用于求极值，要求有较好的运用数学知识解决物理问题的能力。
 解法二、巧妙建轴解析法：以结点O为研究对象，画出受力图，建立坐标轴，如图所示。根据几何条件可得，力F与轴之间的夹角为（α－θ）。
 根据x轴方向的平衡条件有：
 Fcos（α－θ）－mgsinα=0
 F＝mgsinα/cos (α－θ)
 因此，当（α－θ）＝0，θ＝α，即拉力Ｆ与水平方向的夹角等于α角时拉力F有最小值，且Fmin＝ mgsinα。
 此法坐标轴建立巧妙，绳的拉力T不出现在x轴方向的平衡方程中，便于讨论，只需根据这一个方程即可求出结果。难点在于根据几何条件寻找相关的角度，此法运用的数学知识较简单，不失为求解此类极值的巧妙方法.
 解法三、矢量分解法：以结点O为研究对象，画出受力图。将已知的重力mg沿另两个力的反方向进行分解，如图所示。因结点O处于平衡状态，则力F必与其方向的重力的分力等值，即F=G1。由几何关系可知，在ΔOAB中，根据正弦定理有：
 G1／sinα＝mg／sin[90°－（α－θ）]
 F＝G1＝mgsinα／sin[90°－（α－θ）]
 欲使最小，必有α－θ=0，即θ＝α，拉力F与水平方向的夹角等于α角，且此时有Fmin= mgsinα。
 在能够确定三个力之间的夹角和一个已知力时，用该方法求解较为简捷。用于求极值，数学运算和讨论也较简单，难点仍在于根据几何条件确定相关的角度。
 解法四、矢量图解法：结点Ｏ受三个力作用而平衡，将三个力首尾相接应构成封闭的矢量三角形。因重力mg的大小和方向都不变，拉力T的方向不变，随着力F方向的缓慢变化，可作出多种情况下的矢量三角形，如图所示。由图可知，当F与T垂直，根据直角三角形的知识可得Fmin＝ mgsinα。
 图解法形象直观，易于理解，且可显示出变力的动态变化过程。极值出现的条件明显，不失为此类极值问题求解的最佳方法。
 解法五、力矩平衡法：以偏离竖直方向的悬绳为研究对象，悬绳本身的重力不计，其受力情况如图。以绳的悬点O′为转动轴，则绳拉力T的力矩为零，根据力矩平衡条件可得：
 MG＝MF
 因α角保持不变，则MG恒定。从而有力F的方向变化时，对悬点O′的力矩MF恒定。俗使力F最小，则需对悬点O′的力臂最大，故力F的方向必须与绳子垂直，即力F与水平方向的夹角θ＝α，设绳长为Ｌ，则：
 mgLsinα＝FminL
 Fmin＝mgsinα。
 用力矩平衡法求此类问题的极值，思路明确、极值出现的条件明显、运算简便，既强化了有关概念，又培养了能力。该法也是一种较好的方法，难点在于转轴和力臂的准确确定。