“斜率”的物理意义与解题应用 物理与数学的关系极为密切，物理状态、物理过程及物理量之间的关系可以用图像来表示，这是研究、处理物理问题和学好物理的重要方法和手段。尤其是图象中的斜率问题，斜率问题有两种类型：图象的斜率表示某一物理量的变化率，图象的斜率表示某一物理常量。 一、“斜率”表示某一物理量的变化率 1 “斜率”表示的物理量随时间的变化率 位移-时间图表中的斜率表示速度；速度—时间图象中斜率表示加速度；动量—时间图像中斜率表示合外力；磁通量—时间图象中斜率表示感应电动势等等。 例1 如图1为某一运动物体的速度—时间图象，其初速度为，末速度 为，加速度为，则下列说法正确的是（ ） A 物体做曲线运动 B ，a逐渐减小 C ，a逐渐增大 D ，a逐渐减小 解析 ⑴因在“速度——时间”图象上，只能表示出在同一直线上的“正”、“负”两个方向，所以在“速度——时间”图象只能描述物体做直线运动的情况； ⑵如果物体做匀变速运动，表示运动物体速度的直线与时间轴的夹角的正切表示物体的加速度。据此我们可以外延一下：如果物体不做匀变速运动，表示物体的运动的图线的图线为一曲线，曲线上每一点的切线与时间轴的夹角为该点的瞬时加速度，由图象上可以看出，图象上每点切线与时间t轴的夹角θ的正切，即每点的斜率逐渐的减小，所以物体做加速度逐渐的减小运动； ⑶用直线连接表示物体A速度的曲线1的两个端点，连接的直线2表示物体做匀加速直线运动，则由所学知识知道，连线2下面的阴影部分的“面积”s1为匀加速运动的位移，而表示物体A速度的曲线1下方的“面积”s1+s2则表示物体A的位移，因，，故答案选B。 例2 甲、乙两物体分别在恒力F1、F2的作用下，沿同一直线运动，它们的动量随时间的关系如图2所示，设甲在t1时间内所受冲量为I1，乙在t2时间内所受的冲量为I2，则F、I的大小关系是（ ） A F1>F2 I1=I2 B F1<F2 I1<I2 C F1>F2 I1>I2 D F1=F2 I1=I2 解析 由动量定理F△t=△P得F=，所以在P－t图象中， 表示动量的图线与时间轴夹角的正切，即等于合力F，因θ>β， 所以tanθ>tanβ，即F1>F2；从图象可以看出，∆P甲=∆P乙，动量变 化量大小相等，由动量定理∆P=I得冲量I1=I2，故答案选A。 例3 单匝矩行线圈在匀强磁场中匀速转动，转轴垂直线圈中（ ） ⑴0时刻感应电动势最大 ⑵0.05s时感应电动势为零 ⑶0.05s时感应电动势最大 ⑷0.05s时最大时间内平均感应电动势为0.4V A ⑴⑵ B ⑴⑶ C ⑴⑶⑷ D ⑴⑵⑷ 解析 由法拉第电磁感应定律，在－t图象表示磁通量的 图线上每点的切线的斜率等于， 0时刻和0.1s时斜率绝对值电动势值最大，0.05s时刻斜率为零，故应选D。 2 “斜率”表示的物理量随空间的变化率 例４ 如图4所示，有一垂直纸面向里的非匀强磁场，其感应强度沿y方向 不变，而沿x方向均匀减小，减小率为，一个边长为10cm长方形铝框，总电阻0.25Ω，铝框平面与磁场方向垂直。在外力作用下，以20m/s的速度沿X正方向做匀速直线运动，求铝框中感应电流大小。 解析 题意中“减小率为0.05T/m”是指磁感应强度B沿+X方向的变化率，即T/m。设某时刻线框左、右两边所处的磁感应强度分别为B1、B2，则该时刻两边产生的电动势分别为E1=B1Lv，E2=B2Lv合电动势办E=E1-E2=(B1-B2)Lv=为沿X方向上距L 的两点磁感应强度的变化量，大小为 。 所以，铝框中感应电流大小为 。 二、“斜率”表示某一物理常量 1 利用“U—I图象斜率分析电阻值R 例５ 一白炽灯泡“220V，60W”，加上电压由零祝渐变到220V。在此过程中电压U和电流I的关系可用图象表示，图５中的四个图象中，肯定不符合实验事实的是（ ）
解析 U-I图象中任一点(I,U)的斜率就是该状态下的电阻值。电流越大,温度越高,电阻率越大,因此电阻值越大,斜率也应越大。A中斜率不变,C中斜率减小,D中斜率先变大后减小,均不符合实验事实,答案应为B。 2 利用“T2—L”图象斜率求重力加速度g 某同学在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，测出了 在不同摆长L时的周期T,并以T2为纵坐标，以L为横坐标，描 点连线画出如图6所示的图象，试由图线求重力加速度值。 解析 由单摆周期公式得L，所以 在T2—L图象中，斜率值等于，即，解得g=9.96m/s2。 3 利用“U-I”图象斜率求电源内电阻r 由闭合电路欧姆定律E=U+Ir得外电压U随电 流I的变化关系U=-Ir+E ，如图7，当断路时， 路端电E压等于电源电动势E；当短路时， ，则图线斜率k=tan，所以图线斜 率的绝对值等于电源的内电阻r。 练习 在”测定电池的电动势和内电阻”实验中,测出数据做出电池A、B的U-I图象， 如图8所示，从图中可以看出，电池A内电阻rA=______Ω，电池B的电动势EB=_______V，若将某电阻器分别接在电池A和电池B的两极之间时，电阻器消耗的电动势相等，则此电阻器的阻值为____Ω。（答案：1.25Ω；1.5V；1.25Ω） 4 利用“a—F”图象斜率求物体质量m 例6 如图9所示，两物体A、B都静止在同一水平 面上，它们的质量分别mA、mB，与水平面间的动摩擦因 数分别为、。现用平行于水平面拉力F拉A、B， 所得两物体加速度a与F关系图象分别如图10所示，则正确的是（ ） ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ A ⑴⑵ B ⑴⑷ C ⑴⑶ D ⑵⑶ 解析 由牛顿第二定律得，即， 所以图象斜率表示质量的倒数，。图线在纵轴上的截距 表示，所以，故应选C。 5 “EK—υ”图象斜率表示普朗克常数h 例9 用不同频率的光子分别照射钨和锌，发生光电效应，跟据实验可画出电子的最大初动能随入射光频率υ变化的图线，已知钨的逸出功是3.28eV ，锌的逸出功是3.34eV,若将二者的图线画在同一个坐标系中，则正确的是图11中的（ ）
解析 由爱因斯坦的光电效应方程知，图象中图线的斜率表示普朗克常数h，因h大小恒定，因此图象中的图线应相互平行。图线在纵轴上的截距大小表示金属的逸出功，所以答案A正确。 另外，关于利用图象斜率求物理量的问题还有很多，如利用F—x图象斜率求弹簧的劲度系k；利用 F—q图象斜率求某点场强E；利用Q—U图象斜率求电容器的电容量；利用斜率求介质的折射率n等等，这里不一一再述。 总之，图象的斜率是分析、处理物理问题的一种重要工具。利用它可使复杂的物理问题简单化、清晰化，使解题起到事半功倍的效果。要学好物理，就应正确理解斜率在物理问题中的含义并掌握其应用。
