用数学方法解平衡问题 解答物理问题，往往要进行一定的数学运算才能求得结果，有时数学方法选择合适与否对快速解答出物理问题相当重要。例如我们在解答物体平衡问题时就常用到“相似三角形法”和“三角函数法”，笔者就此两种方法分别说明如下： 1．相似三角形法：相似三角形法通常寻找的是一个矢量三角形与一个几何三角形相似。利用相似三角形对应边的比例关系求解力的大小，特别是当几何三角形的边长己知时。 【例1】 如右图1A所示，轻绳的A端固定在天花板上，B端系一重为G的小球，小球静止在固定的光滑大球表面上，己知AB绳长为l，大球半径为R，天花板到大球顶点的竖直距离AC=d,角ABO＞90º。求绳中张力和大球对小球的支持力（小球直径忽略不计） 【解析】选小球为研究对象，受到重力G、绳的拉力F和 大球支持力FN的作用(如图1B示)。由于小球处于平衡状态，所以G、F、FN组成一个封闭三角形。根据数学知识可以看出三角形AOB跟三角形FGFN相似，根据相似三角形对应边成比例得 F/L=G/(d+R)=FN/R 解得 F=G•L/(d+R) FN=G•R/(d+R) [讨论] 由此可见，当绳长L减小时F变小，FN不变。 2．正弦定理（拉密定理）：如果在共点的三个力作用下，物体处于平 衡状态，那么各力的大小分别与另外两个力夹角的正弦成正比。如右 图2所示，表达式为： F1/Sinα=F2/Sinβ=F3/Sinθ 此法适用于三力构成的是锐角或钝角三角形。 【例2】 如图3所示，小球质量为m，置于倾角为θ的光滑斜面上， 悬线与竖直方向的夹角为α，系统处于静止状态。求斜面对小球的支持力FN和悬线对小球的拉力F。
【解析】 选小球为研究对象，小球受力如图所示，球受三个力作用 而处于平衡状态。根据正弦定理得： F/sin(180º－θ)=FN/sin(180º－α)=mg /sin(α+θ) 即 F/sinθ=FN/sinα=mg/sin(α+θ) 所以 F=mg•sinθ/sin(α+θ) FN=mg•sinα/sin(α+θ) 练习： 1．如图4所示，长为5m的细绳两端分别系于竖立在地面上相距为4m的两杆的顶端A、B。绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一个重为12N的物体，平衡时求绳中张力FT=？ 2．如图5所示，在细绳的下端挂一物体，用力F拉物体使细绳偏向α角。保持α角不变，当拉力F与水平方向夹角β多大时，拉力最小？此时细绳上拉力FT=? 答案：1。FT=10N 2．β=α， FT=G•cosα
