关于柯西中值定理的逆定理

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微分学基本理论中最重要的定理之一就是中值定理。当我们证明泰勒公式的时候，或者讨论参数曲线的时候，我们经常用到下面的广义中值定理：
  柯西定理  假设 和 在区间[a,b]上连续，在开区间 (a,b)内可导，且对于任意，。那么存在一点，使得
.
当柯西定理的逆定理成立的时候，一个自然而有趣的问题产生了。即固定，是否存在，使得且
  ？
   本文中，我们将给出柯西定理逆定理成立的条件，确切地说，我们要证明如下结论：

定理  假设函数和满足以下条件：
 (i) 函数和在[a,b]上连续；
 (ii)函数和在（a,b）内可导，且对于任意，；
 (iii)是单调的，并且在a,b附近不是常数。
那么对任意的，存在，使得且
                                           (1)

证明  首先，我们注意到如果不递增的情形下结论成立的话，那么当不递减时结论也成立（用-f替代f便得证)。因些，我们只需要讨论前者。