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微分学基本理论中最重要的定理之一就是中值定理。当我们证明泰勒公式的时候,或者讨论参数曲线的时候,我们经常用到下面的广义中值定理: 柯西定理 假设 和 在区间[a,b]上连续,在开区间 (a,b)内可导,且对于任意,。那么存在一点,使得 . 当柯西定理的逆定理成立的时候,一个自然而有趣的问题产生了。即固定,是否存在,使得且 ? 本文中,我们将给出柯西定理逆定理成立的条件,确切地说,我们要证明如下结论:
定理 假设函数和满足以下条件: (i) 函数和在[a,b]上连续; (ii)函数和在(a,b)内可导,且对于任意,; (iii)是单调的,并且在a,b附近不是常数。 那么对任意的,存在,使得且 (1)
证明 首先,我们注意到如果不递增的情形下结论成立的话,那么当不递减时结论也成立(用-f替代f便得证)。因些,我们只需要讨论前者。