点在圆锥曲线“内部”的作用 胡 波
解析几何是用代数的方法研究几何图形的一门科学，任何一个解析几何问题的解决都是通过几何图形代数化与代数结果几何化并进行代数计算实现的。这是解析几何的根本，也是高考解析综合题重点考查的思想方法。但在具体解题过程中，是否可以有效地把解析几何问题的“数”、“形”结合起来，将直接影响到解题的效率。 类比点在圆内、圆上、圆外我们得到：在直角坐标平面上，含有焦点的区域为圆锥曲线的内部，那么容易得到：点P（x0、y0）在椭圆内部的充要条件是；在双曲线内部的充要条件是；在抛物线y2=2px内部的充要条件是y02<2px0（注：若将以上条件中的“ < ”（或“>”）改为“>”（或“<”），则条件变为点P 在圆锥曲线外部的充要条件）。巧妙地利用点在圆锥曲线内部这一充要条件和性质解题，不仅能使许多数学问题的去解思路清晰、和谐、优美，而且解题过程解捷、明快，可收到事半功倍的效果。下面就举例说明： 一、直线与曲线交点问题： 例1.已知直线L:和椭圆C：恒有交点，试求范围。 解析:本题的常规解法是:把直线代入圆方程中并整理成有关一元二次方程,利用解之。但解题过程繁杂、运算量大,甚至难以继续进行下去,无法达到目的。 现注意到直线L恒过一个定点,则要满足题意直线和椭圆恒有交点，只需要求此定点在椭圆内或上。从而转化为：，即，又知，所以求得。 评注:以上利用了点在椭圆内部及上部的充要条件,避免了大量的繁杂运算和推理,使问题得到巧妙的解决,出奇制胜,培养了思维简洁性,优化了解题思路。 类题：若椭圆与连结A（1，2）、B（3，4）的线段没有公共点 ，求实数的取值范围。 略解：因为线段AB在第一象限且斜率大于零，由图象知：当椭圆与线段AB没有公共点时，端点A、B同时在椭圆内部或同时在椭圆外部，又由A、B两点坐标的特征知，当A、B两点同时在椭圆内部时，只需 ；当A、B两点同时在椭圆外部时，只需即可。从而有或 ，结合>0，得实数的取值范围是或。 二、对称问题： 例2.已知抛物线上有关于直线：对称的相异两点，求的取值范围。 解析：关于求范围问题，主要是建立不等关系，把直线与圆锥曲线方程相联立，根据已知条件转化出相应的关于字母的不等式。但运算量比较大，且有时很难找到相关的不等式。 现由作图分析可知，要使抛物线上存在两点关于所给直线对称，则必须确保所给直线与抛物线有两个交点，同时保证这两个交点的中点在所给直线上，且此中点也必须落在抛物线开口内部。 解：假设抛物线上存在两点A（x1，y1）、B（x2，y2）（x2≠y2）关于对称 ，M（x0，y0）是线段AB的中点，则 将 ，，代入上式，得M。 由题意，点M在抛物线内部，∴，即， 又恒大于0， 故，从而求得的取值范围： 类题：直线：，试问：在双曲线的同一支上是否存在关于直线对称的两点？并说明理由。 略解：假设双曲线同一支上存在两点，则两点坐标代入双曲线方程，做差，并结合两点的中点在直线上及两点斜率与直线的关系，可求出中点坐标。由题此中点必在双曲线一支的开口内部，则有 。这显然是不可能的，因此假设不成立，及在双曲线同一支上不存在关于直线对称的两点。 三、一类不等式问题： 例3.设，求证：. 解析：此类无理不等式通常采用两边平方或配方法“去根式”或利用基本不等式性质进行证明。但“去根式”比较复杂，而利用性质证，则很难找到相应的出发点，较难下手处理。 现把不等式化简为 ，则可注意到此相关方程运用定义法即表示椭圆。所以要证原不等式成立，只需证明点P（，1）在椭圆上或椭圆外即可。 显然 ，这说明点P（，1）在椭圆上或椭圆外。不等式即得证。 证明过程略。
