浅论平面几何课数学教学中的几个有效环节 卓晓敏

浅论平面几何课数学教学中的几个有效环节 卓晓敏
 [内容摘要]：平面几何注重抽象思维、辨别图形的能力和迁移能力的培养。在数学课堂教学中应结合学生知识水平和思维水平的实际情况，实施几个有效的教学环节：创设情境、直观感知，自主探究、操作确认，教师引导、推理证明，例题讲解、应用拓展。并且在各个环节进行中要重视思维的训练和过程教学的加强，有效发展学生的各方面能力。
[关键词]：平面几何    教学模式   有效环节   教学分析

    “认识三角形”是在小学初步认识三角形的基础上，又具体介绍了三角形的有关概念和三角形三边的关系。它既是上学期所学线段和角的延续，又是后继学习全等三角形和四边形的基础，在知识体系上具有承上启下的作用。“认识三角形”是传统的内容，教师对这部分内容的教学早已驾轻就熟：创设情境抽象图形——呈现知识系统讲解——例题讲解巩固练习——应用拓展鼓励探究。或呈现数学知识——讲解实例——说理证明——应用拓展等等。2007年底宁波市名师（特级教师）带徒活动中数学课堂教学的课例之一就是“认识三角形”，由二位徒弟执教。这节课是课标中传统内容，但在新课程理念的指导下，经过老师的精心策划和设计，二位教师的教学设计丰富了很多，有些还比较理想，某种程度上也可以看出课程改革的成效，本文结合这二位教师的教学设计来谈谈平面几何课教学应具有的几个环节。
一、创设情境，直观感知
 精彩的课堂都有一个精彩的引入，一节成功的课必需有一个好的开始。教师们在课堂上巧妙的引入，把学生的学习兴趣调动起来，学生在整堂课中思维处于高度积极的状态，学习效率肯定很高。课堂引入的方法很多，但是不能千篇一律，要根据不同的教学内容，采用灵活多样的方式进行。对于“认识三角形”，教师通常是用展示图片，寻找生活中三角形的方法引入。这次名师（特级教师）带徒活动的授课教师的引入，总体上也是引导学生寻找生活中的实例——三角形，但如果用通过对实际问题的解决来产生思维碰撞，制造悬念。为对这个问题的合理解决而引入本节课，更能激发学生的求知欲望，更显合理。
 片断一：采用展示三张图片：房子、金字塔、桥。以问题链的形式与学生进行交流。这些图片有什么共同点？为什么要设计成这个图形？怎么样的图形叫三角形？三条线段一定能构成三角形吗？用欣赏图片来吸引学生的注意力，同时缓解紧张的课堂气氛。问题链的设计能体现思维的完整性和连贯性。在发展学生思维的同时，也能唤起学生对三角形知识的回忆，为上好这堂课做好了知识和情感准备。
 分析：教师一利用创设教学情景，这一引入可作一支兴奋剂，它可以让学生的注意力集中起来，在课堂上兴奋起来，特别是对那些学习缺乏动力的学生来说更有效，可以唤起他们的学习兴趣。同时结合重难点，构成一个指向明确、思路情晰、具有内在逻辑的“问题链”。体现教师教学的思路，打通学生学习的思路，具有较好的效果。特别是第四个问题：三条线段一定能构成三角形吗？给学生产生了悬念，能激发学生对本节课的内容做进一步思考的欲望，为讲授新知识作好了铺垫。但对于问题的设计要注重：1.问题设计的难易度要适当，要符合学生的实际水平；2.问题设计要充分发挥和调动学生内部动机；3.问题设计要科学、书面化。基于这三个要点，对问题链的设计需要改善。对于初中生来说，问题一的设计不能太简单、直观，不能从找图形上来设计，觉得有点儿不符合学生思维的实际水平。问题三的设计不太科学，太口语化。如果改为“你能给三角形下一个定义吗？”、“三角形是如何构成的？”等等，这些问题就显得探究目标更加明确。
  片断二：教师二展示二张姚明的照片。问：姚明的身高是多少？姚明一步能跨4米吗？举例生活中的三角形？什么样的图形叫三角形呢？任意三条线段一定能摆成吗？课引也是以问题链的形式展开，并用名星（姚明）效应方式来吸引学生的眼球，能使学生尽快进入学习状态，起到了定神的作用。
 分析：用明星（姚明）效应的方式来吸引学生眼球的做法值得肯定。通过问题“姚明一步能跨4米吗？”作为悬念来调动学生的思维，让学生产生“姚明的跨步和三角形有什么联系？”的思考，很快进入了课题。但对于问题链的设计也需要书面化、科学化。“姚明的身高”与“姚明能否跨4米”没有实质性的联系，而且与三角形的构成也没有关联。恰恰与“构成三角形”相关联的是“姚明的两条腿长”与“跨步的长度”。如果问题设计科学化，就显得更有针对性和有效性。
二、自主探究，操作确认
 《数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”学生是学习的主体，教师应该尽量给学生提供一些自主探索的机会，让学生在探索的过程中，逐步形成对数学知识的理解，培养学生的自主探究的能力。由于数学课程内容是现实的，特别是几何课程内容，要给学生提供充分的从事数学活动的时间和空间，使学生在自主探索、亲身实践、合作交流的氛围中解决数学问题。对于“三角形三边关系”的教学上，大多数教师都会采取让学生自主探究、小组合作交流来完成这个内容。但探究的方式有很多：1）让学生画三角形，用刻度尺量出三边的长度，统计各小组的情况后比较三边有何关系？2）可以给学生几根准备好的小棒，通过拼摆得出几组三角形，然后让学生思考能摆成三角形的这几组小棒有什么关系？3）通过多媒体来演示能组成三角形的三边关系，并让学生用语言归纳，再通过小棒动手操作来验证三边关系等等，都可取得理想的效果。
 片断一：通过任意画一个三角形，测量出三边的长度，并完成填空：a=____,b=____,c=____.
比较：a+b_____c, b+c____a, c+a____b。通过计算比较得出三角形的三边关系。学生很快拿出工具便操作起来了，课堂气氛很活跃，不一会儿学生就完成了任务。
 分析：这是一个自主探究、比较开放、易操作的课题，通过随心所欲的画，测量工具的使用，实数的大小比较，猜想的运用，这些行为都符合学生的实际水平，学生都能轻而易举的完成。也能充分发挥主动性和参与性，体现了“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”的新课程理念，同时在教学中渗透了数学思想方法——猜想、归纳。但让学生任意画一个三角形来比较，并猜想出三边的关系。是否让人产生“以点盖全”的嫌疑，是否可以让学生多画几个三角形并测量比较三边关系，或者把全班学生的结果统计出来，再猜想结论。通过猜想，体验数学的产生，体验学习的过程，使学习始终处于兴奋状态，从而真正体验学习的乐趣，这样才有助于学生形成真正的数学能力，建立数学构思。
 片断二：呈现小狗吃骨头的动画演示：小狗吃骨头可选择二条路，选择一是走直路去吃，选择二是走一条折线路去吃，问小狗怎么走才能最快吃到骨头？通过这个问题情境来引发学生进一步思考。显而易见，两条不同的路径构成了一个三角形。一条折线路比直路要长，可直观地得出三角形三边关系。
 分析：美国著名数学家哈尔莫斯说：定理、证明、概念、定义、理论、公式、方法中的任何一个都不是数学的心脏，只有问题是数学的心脏。有了问题，思维才有方向；有了问题，思维才有动力。教师在教学中设计了“小狗吃骨头”的问题情境，将一维的知识讲解变为多维的问题情境设置，化消极的灌输为积极的探索，使学生有一种“一波未平，一波又起”之感，激发学生自主探究的兴趣和动机。但是通过这一例马上得出“三角形三边关系”，未免有点过早过急，直截了当。如果再让学生动手操作（画三角形，测量，比较大小；或摆摆小木棒）就显得更到位，让学生的眼、手、脑一块动起来，学习效果会更佳。
三、教师引导，推理证明
 猜想后，教师就应引导学生推理证明，而不是代替学生。因为推理是一种极有意义的学习过程，它是学生针对自己在数学学习过程中发现的一些较有难度的数学问题或现实问题，采用数学基本理论层层解释、说明数学产生过程的学习活动。推理往往伴随着说理、解释。数学教学中的“说理”是一种探究数学问题的学习过程，经常开展推理活动，有利于提高学生的逻辑推理能力。
 “三角形三边关系”是本节课的重点，用什么知识来推理这个性质，如何通过引导学生去说理证明？这是突出重点的关键所在。所有的教师都知道：“三角形任何两边的和大于第三边”的理念依据是“两点之间线段最短”。通过什么方式运用这个知识点来推理证明呢？首先在推理过程中这二位教师通过讲解，引导学生理解。利用定理“两点之间线段最短”来得出“三角形两边之和大于第三边”这个性质。这个教学难点被许多教师忽略，以简单的告知方式匆匆跳过，然后把重心放在性质的应用练习上，用练习来强化记忆。其次，教师在上这节课时，都注意到了用有意义学习的原理，从学生原有知识中提取能够相衔接的知识，但多数教师只注意提取结论性的事实知识“三角形任何两边的和大于第三边”，而忽视了原有知识中的策略性知识。传统教学中，往往一旦得出结论，就把方法抛至脑后，注意力转移到强化记忆和机械套用上。然而，在新课程理念强调过程与方法和结论同等重要的今天，这二位教师在教学中都有所体现。教师一让学生动手操作、测量、比较得出结论，在结论的论证过程中，引导学生证明这个结论。教师二通过设置情境，让学生直观、形象地观察归纳得出结论，在结论证明过程中，教师解释学生理解后让学生用语言和文字归纳。但讲解都显得过快。我们教师是否可以让学生设计方案证明三角形的两边之和一定大于第三边？可以先以学生的口头推理尝试说一说，再进行书面推理，也可以先让学生写出书面推理的内容，然后相互进行描述讲解自己的设计方案，当然，口头推理难度大于书面推理，因为其中还要考虑语言运用的准确性，推理过程的前后连贯性等。不过经常性的让学生进行口头推理，体验说理过程，有利于学生对数学本质的研究，有利于学生素质的提高。
四、例题讲解，应用拓展
 课堂例题的讲解活动是实施素质教育，加强提高学生数学素质的重要手段之一。要改变“教师讲例题、学生大量练习题”的教学模式，问题解答是一个包含多个环节的复杂过程，我们所关注的是不能唯一地集中在启发性之上，应过渡到对于解决问题全部过程中的整个系统。“调节”环节不能被纳入“启发法”的范畴，而应被看作是影响解决问题能力的一个重要因素，它的重要性将影响教师如何进行课堂例题讲解的分析和引导。
 两位教师不约而同的采用从简到难的例题讲解方法。首先判断三条线段能否组成三角形，并说明理由。1）a=2.5cm  b=3cm  c=5cm  2)e=6.3cm  f=6.3cm  g=12.6cm  3)m=4cm  n=5cm  l=10cm.利用“三角形任意二边之和大于第三边”这个性质来完成。学生独立完成后，引导学生能否有更简便的方法？学生有所启发，在教师的配合下得出了“取最长边比较”的方法和步骤：1）确定最长边；2）检验另二边之和是否大于最长边。学生们理解得比较好，都觉得这种方法实用、好使。
 这二位教师的讲解都侧重于解题的分析，由教给学生“数学结果”（即数学的概念、定理、公式以及计算、化简、证明的方法）转变为引导学生学会“数学过程”，引导学生解决问题时，树立明确的解题目标，有强烈的目标意识，努力避免思维的盲目性，有效地排列思维定势的干扰，及时准确地调整解题方法，优化解题过程。同时在讲解的过程中也可经常问及“我选择的方法是怎样的？……”“有没有更好的方法选择”？ “这个问题的解决主要困难是什么？”教师在例题讲解的过程中还应该注重教会学生随时对解题活动作出评价，并学会作出重要的自我调节，可以设置下列问题对从事的解题活动进行自我评估：“我是否真正弄清了题意？我对于所面临的困难是否有清醒的认识？我所采取的解题途径是否足以导致问题的彻底解决我所选择的解题途径是否为最好的？是否有更好的解途径？在已完成的工作中是否存在隐蔽的错误？等等。
 例题讲解之后，学生得到了一些解题思想方法，为了运用这些方法、培养学生迁移能力的发展和体现“数学来源于生活又应用于生活”的理念，教师就应当给学生提供具有探索性、开放性的应用环境，把知识应用活动当成研究活动，对相关的知识进行引伸与拓展，让学生参与知识应用的“再创造”过程。教师一呈现了[思考与探究]：有两根木棒分别长5cm和8cm。问：1）长度为2cm、3cm、3.5cm能否摆成三角形？2）14cm、13.5cm呢？3）应满足什么条件才能摆成三角形？问题链排列由易到难，层层深入，螺旋上升。符合学生思维水平实际和教育规律。但对于第三个问题的探究过程被忽略了，太快进入结论的讲解，没有体现出探究的过程性，对发展学生的能力有些不足。教师二呈现了[思考与探究]：做一个三角形铁架子，已有两根长分别为20cm和40cm的铁条。现有铁条五根分别为10cm、30cm、40cm、50cm、60cm，你认为应选哪几根铁条？问题一提出就有学生回答：学生一的答案是30cm、40cm、50cm、60cm；学生二的答案是30cm、40cm、50cm。接着老师就和学生一起得出这个结论。在探究的过程中，没有很好的锻炼学生的思维，教师应追问为什么10cm和60cm不能构成三角形呢？用问题来带动学生的思维，引导学生得出第三条边的取值范围。然后，应运用这个结论再次应用到实际问题中，以此来培养学生的解决问题的能力和迁移能力。这样设计会不会更能取得教学的实效。
 平面几何教学是培养学生思维能力，发展学生智力的一项重要内容。通过平面几何课教学引导学生深入理解几何图形中各元素间的联系，掌握条件与结论的变化，并从问题的深度和广度上作进一步的探讨，对于发展学生思维，培养学生分析问题、解决问题的能力都是十分有益的。加上这几个环节的设计加深了学生对几何命题所反映的条件与结论间关系的认识，能取得较好的教学效果。
[参考文献]：
浅述研究性学习下数学课堂例题讲解的再认识.高中数学教与学[J],2003年第12期。
许芬英.怎样的数学课堂教学比较理想.中国数学教育[J],2007.9。