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数学论文
高中数学中相对独立的内容的建模
排列组合是高中数学中相对独立的内容,由于解题方法独特,结果不易验证,思维比较抽象灵活,在解题过程中,学生往往缺乏自信心,因此在课堂教学中如果我们能把一些常见的排列、组合问题归纳、类比到一组单一的学生能掌握且比较熟悉的模型上,无疑对解题是有益的。在此笔者谈谈把球放入盒子问题的几种模型。
1 、把5个不同的小球放入5个不同的盒子(不限制盒子放球数,每盒最多可放5个)有几种不同的放法?
分析:5个小球分5次放(5步),每一个小球有5种放法。
解:有分步计数原理得
评述:本题是利用分步原理求解,模型为n个不同的球放入m个不同的盒子中(每盒可以放n个)有mn
2、把5个不同的小球放入5个不同的盒子,每个盒子只能放一个,有几种不同的放法?
分析:本题就是5个不同的元素按一定顺序排列的排列个数,是一个典型全排列问题。
解:
3、把3个不同的小球放入5个不同的盒子,每个盒子只能放一个,有几种不同的放法?
解:或
评述:本题是球少盒子多(元素少,位置多),可以理解为从5个不同盒子中先取出3个盒子然后将3个小球一对一的放入每个盒子即为全排列
模型:把m个不同的元素放入n个不同的对象()(每一个对象只能放一个元素)其排列数为,其实就是对排列概念的真正理解。
4、把7个不同的小球放入5个不同的盒子,每个盒子至少放一个,有几种不同的放法?
分析:先把7个小球分成5组,再把5组(5个元素)进行全排列,分组有两类:1、1、1、1、3或1、1、1、2、2各组的组数分别为,因此:N=
评述:本题是球多盒子少(元素多,位置少),且要求每个盒子至少放一个球,因此要先分组(把这些元素分成与位置一样的组)后排列;要注意写出有几类不同的分组,同时分组要注意平均分组和局部平均分组的计算方法。(这里就不展开了)。
5、若5个不同的小球放入编号为1、2、3、4、5的五个盒子,每个盒子放一个,且要求乙球放入的盒子编号要比甲小,丙球放入的盒子编号要比乙球小,有几种不同的放法?
分析:先在5个盒子中选出两个放入另外两个球有,剩下的3个盒子中按号从大到小放甲、乙、丙,只有一种方法。因此,N=
评述:本题对3个不同小球限制了条件。看上去有顺序限制,事实上是变成了与顺序无关的组合问题。
6、4个编号为1、2、3、4的小球放入到编号为1、2、3、4的盒子,每个盒子只能放一个,要求相同的号码不能放,问有几种不同的放法?
分析:本题分4步:第一步放1号球有3种方法;第二步放1号球放入的盒子号的这个球也有3种;这样剩下的两个盒子号必有一个是与剩下的球号相同,所以剩下的2个球只有一种放法。因此,N=3*3*1*1=9;由于本题数量小,也可以用书型图(一一列出)求解。
评述:本题形式比较特殊,类似的有拿贺卡问题,可以记忆一下。如3个人之间各写一张贺卡,然后各拿一张,自己写的不能拿,有几种拿法?就是3个不同的球放入3个盒子(同号的不能放),则只有2种了。
7、把红、黄、蓝、白、黑5个小球放入5个不同的盒子中,每个盒子只能放一个:
若要求红黄相邻,有几种不同的放法;
若红、黄不相邻,有几种不同的放法;
红球不在1号盒子,黄球不在5号盒子,有几种不同的放法?
分析:(1)把红黄两个球看作一个整体与另外3个小球进行全排列有,又红黄两个小球可以进行全排列,故N=
(2)因为另外3个小球能制造4个空档,所以先3个小球的全排列有,而红、黄两球的排法有,故N=
(3)本题可用间接法
评述:(1)(2)两题是常见的相邻与不相邻问题,分别采用捆绑法和插空法,学生应该比较熟悉。而(3)是常见的对元素(或位置)进行限制的问题。分别对两个元素限制不能排在某两个位置上的排列模型为:或
8、3个相同的小球放入到5个不同的盒子,每个盒子只能放一个,有几种不同的放法?
分析:先从5个盒子中任取3个盒子有种,由于放入的是相同的元素,故是无序问题,所以N=。
评述:本题突出了球相同,说的是把相同的元素放入到不同的位置,是组合问题,是对组合概念的具体化,不过其特点是球少盒子多。(元素少,位置多)
9、把7个相同的小球放入5个不同的盒子,要求每个盒子至少放一个,有几种不同的放法?
分析:法一:先把7个小球分成5组有以下几类:1、1、1、1、3或1、1、1、2、2,∵元素是相同的,故第一种有(或),第二种有(或)∴N=+=15
法二:相同元素分配用挡板法,故有=15种
评述:本题是相同小球m个放入n个不同的盒子(m>n),每个盒子中至少一个元素,用挡板法比较简练,类似的有名额分配问题。
引申:若把12个相同的小球放入5个不同的盒子,要求每个盒子至少放2个,有几种不同的放法?
分析:先在每个盒子上先放上1个小球,再将剩下的7个小球用挡板法分别放入到5个盒子中,有=15种
评述:本题是先为利用挡板法创造条件,因为使用挡板法的前提一般是保证“至少一个”,且“各元素是相同的”,要注意与不同元素的分组问题的区别。
上述几种类型基本涉及到了高中阶段一些排列组合问题,学生在平时训练中若能有意识地对照这些类型寻找与之相同的题型,逐渐形成解题的模型。对提高学生的审题能力、思维的敏捷性和解题的自信心是有帮助的。
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2010-11-18 08:26:19【
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