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数学论文
空间具有代数与几何双重属性问题
向量是高中数学的新增内容,是一个具有代数与几何双重属性的量,为我们用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具。线面平行是立体几何的一个重要内容,是面面平行等内容的基础,也是学生学习的一个难点和重点,若我们能充分应用好向量这个工具的特点,发挥它的双重属性,能起到事半功倍的效果。
一、应用空间共线向量定理:由平面外的一条直线和平面内一条直线共线,得到线面平行。
例1 、(2004年天津)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点。证明:PA//平面EDB。
证明:如图所示建立空间直角坐标系D为坐标原点,设DC=a,连结AC,AC交BD于G,连结EG。
依题意得A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,,)。底面ABCD是正方形,G是此正方形的中心,则点G的坐标为(,,0),=(a,0,-a),=(,0,-)=2,PEG,PA//EG,而EG平面EDB,PA平面EDB,PA//平面EDB。
二、应用向量平行于平面和空间向量共面定理,我们可得到如下的性质:如图,已知直线L不在平面α内,取直线L上的任一非零向量,平面α中存在两个不共线向量,,若存在唯一的实数对λ1,λ2,使得=λ1+λ2,则L//α。
证明:由=λ1+λ2知,与共面,因此//α,由直线L不在平面α内得到L//α。
例2 、已知平行四边形ABCD,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别为PC,PB的中点;求证:MN//面PAB。
证明:构造向量,,,和。
=(+)=(—+)=(—)
MN//面PAB
例3、 已知四边形ABCD是正方形,S是平面ABCD外一点,且SA=SB=SC=SD,SP:PD=1:2,SN: NA=2:1,SM:MC=2:1。求证:SB//平面PMN。
证明:如图,连结AC与BD交于O,连结SO,易证SO平面ABCD ,由四边形ABCD为正方形知BDAC,如图建立空间直角坐标系O-XYZ。构造向量,与,令BC= ,SO=1,
由题目已知可得坐标:O(0,0,0),S(0,0,1),A(0,-1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),D(-1,0,0),所以P(-,0,),M(0,,),N(0,-,),则=(1,0,-1),=(,-,-),=(,,-),所以=+,所以SB//平面PMN。
三、应用法向量:如果能证明平面外直线的方向向量垂直平面的法向量,得到线面平行。
例4 、已知四边形ABCD是正方形,S是平面ABCD外一点,且SA=SB=SC=SD,SP:PD=1:2,SN: NA=2:1,SM:MC=2:1,求证:SB//平面PMN。
证明:从例3可知=(1,0,-1),=(,-,-),=(,,-),由,可得到平面PMN的法向量=(-1,0,1),则·=0,所以,得到SB//平面PMN。
从上述问题中可以看到,在解决线面平行问题时一定要善于运用向量的代数属性,能融数形于一体的属性。通过代数的方法解决立体几何的空间问题,降低了立体几何的空间难度,给学生一个比较低的门槛,值得我们深入思考。
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2010-11-21 08:49:00【
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