函数是高中数学的核心内容，也是高中数学中十分重要的概念之一。由于它涉及映射，象与原象，函数的定义域和值域，图象和解析式等问题，因而是高考中的必考内容，然而在学习中，学生对函数的内容经常会出现某些模糊的认识甚至错误，现对常见的几种错误给予列举，希望能够给大家以启发。 1．函数的定义域容易被忽略 例1：已知集合，若用列举法表 示集合，则A为（ ） 错解：原式转化为有 唯一的实数解，所以 答案：A 错因：忽略函数的定义域。 正解：原式等价于（）有唯一实数解。由图象可知，集合A有三个元素。故选D. 本题若用代数方法解，则讨论十分繁琐，而将方程的解转化为函数图象的公共点，利用数形结合的方法可简化讨论，避免繁冗的代数运算。 例2：判断函数的奇、偶性。 错解：化简： 函数为偶函数。 错因：扩大函数的定义域，以至做出错误的判断。 正解：（判断函数的奇、偶性，首先判断函数的定义域所示的区间，是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再根据与的关系作出判断。） 由得定义域为[-1，1）关于原点不对称，故为非奇非偶函数。 变式：若，则判断其奇、偶性。 错解：偶函数。 错因：忽略函数的定义域，没有经过严密的推理而是凭主观判断，想当然的认为再证明。 正解：由得函数的定义域为{-1，1}，原函数为，既满足又满足既是奇函数又是偶函数。 总结：由以上例题可以知道，只要遇到有关函数的问题，首当其冲考虑的问题是定义域，因为函数是由对应法则和定义域、值域组成的，给出的是对应法则，所以必须考虑定义域。而且在解决奇、偶性时应两方面均验证才可，否则可能会丢解。 2．的概念理解不透彻 例3：已知，求 错解： 错因：此题的错误在于先求，再求，实际上是求对应时的反函数，属于概念不清，方向不明造成的。的含义为：函数的反函数当自变量取时的函数值。 正解： 如果此题让求函数的反函数呢？ 正解： ，所以令，则，即. 推广：设函数 若都存在反函数，分别为，那么复合函数存在反函数，且反函数为，下为证明过程 已知函数，求它的反函数。 解：令，则原式转化为，其反函数为，又，则，，即原函数的反函数为： 把上题代入也适用。 由此可以知道的反函数，和是截然不同的两种含义。希望通过这个范例大家能够区分：求的反函数和求的两种问法。 3．图象的特征及变化趋势理解不深刻 例4：已知，方程的实根的个数是（ ） 错解：用数形结合思想方法求解， 从右侧图象上观察，选B. 错因：对指数函数和对数函数的图 象理解不深刻。 正解：选D. 因为这是一个超越方程，所以最终的解法还是要借助于图象，但是图象的画法一定要准确。先从简单形式入手。要想解决这一问题，可以先研究函数的图象的交点个数。例如：函数，易知的图象有三个公共点，即和与的交点。如果是函数的交点则应把x轴下方的图形翻到其上方，所以应该可以有4个交点，再加上上面的解法，答案应为：D. 由此题还可以知道以下结论： 1．若原函数的图象与其反函数的图象有公共点，则公共点在直 线上或关于直线对称。 2．指数函数与对数函数的交点个数： ⒜ 若，则两个函数的交点个数可能为0个，1个 或2个。 ⒝ 若，则两个函数的交点个数为1个。 ⒞ 若，则两个函数的交点个数为1个。 ⒟ 若，则两个函数的交点个数可能为1 个或3个。 变式：函数与的交点个数（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 错解：由图1知 选B 错因：对图象的特征及变化趋势理解不深刻。
正解：虽然两个函数的图象在上都是单调递增的，但是指数函数的图象增长的速度要比二次函数图象的增长速度快很多,用一个比较形象的词语，指数函数的图象在离原点越来越远的地方属于“爆炸式”。最终，指数函数要在二次函数的图象上方。如图2所示。 也可以把它推广到一般形式：和 当a>1时，两个函数的图象有3个交点； 当0<a<1时，两个函数的图象也有3个交点；（法同上） 此题也可以把二次函数更一般化，再研究其交点个数，或者把指数函数改成对数函数，方法同上，有兴趣的同学也可以研究更一般的形式，这里不在赘述。
参考文献： 应波涛，聂文喜.一道试题的错解分析[J].数学通讯，2005，20
