中学新课程数学实验教学的探索

数学实验在某种意义上不但具有与物理实验、化学实验或生物实验相同的属性和价值，而且还有自身的特点和内涵．数学中的模拟、假设、观察、猜想、验证、逼近、仿真等思想都体现了数学实验的思维理念．自己亲历体验，才能感受深刻．用实验创设的知识情境，即可以增强学习的趣味性，又可以成为学生建构未知知识的起点．数学实验有助于将知识的生成和展开变得更加自然顺畅．
1．数学实验理论依据
数学实验创设了学生构建未知数学知识起点的良好平台，它能加速数学知识的迁移和促进数学知识的同化，也可能激发出学生创新的火花．这正是遵循了现代认知心理学理论．数学实验得到的数学体验有利于将新知识建构到已知知识体系中，是建构主义理论的体现．数学实验充分展示运用身体来表达想法与感觉，以及运用双手制作或改造事物的能力，这正是多元智能理论的体现．数学实验的实施过程中，既有自主学习、研究性学习还需要合作与交流．可见数学实验教学活动充分体现了多种教学理论的整合．
2．数学实验的界定
我认为，中学数学实验是指根据具体教学内容的需要，人为地、有目的地、模拟地创设一些有利于观察的数学对象，在典型的实验环境中或特定的实验条件下，经过某种预先的组织、设计，让学生借助一定的物质仪器、技术手段以及肢体语言和思维活动，并在数学思想和数学理论的指导下，对客观事物的数量关系的数量化特性进行操作、模仿、观察、抽样、测试、检验、逼近等的一类数学学习活动．中学数学实验大体上可以包括，手工制作、实物模型及数学教具的实验展示以及以计算机和多媒体数学软件为平台模拟实验环境等等.师生的肢体动作实验以及大脑的思维实验也属于数学实验的范畴．
3．数学实验的价值体现
3.1数学实验的必要性
美国著名数学家和数学教育家G • 波利亚曾指出:“学习任何东西，最好的途径是自己去发现”，“数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨的科学，从这个方面看数学象是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学，看起来却象一门试验性的归纳科学”．捷克教育家夸美纽斯说过,力图使人的发展过程遵循自然,基于感觉的作用先于理解,他提出了“感觉—记忆—理解—判断”的教学程序，并且十分强调直觉教学的作用．可见数学实验注重直觉的教学方式在数学学习中应该占有重要的地位.数学实验带来的直观感受和过程体验有利于数学知识的学习、理解和掌握，也符合从感性到理性的认知规律．
3.2新课程需要数学实验
新时代新课程要求数学教学要特别关注学生在数学上的情感、态度、思维和意识,要充分体现以学生发展为本的教学理念，构建学生创新发展的平台.为了体现新课程理念，在教学中，要注重学生的感受和体验．力争使学生经历观察、模仿、探索、操作、体验、猜想、推理、交流、反思等过程．要尽可能将数学知识作形象化处理，例如，使用图片、模型、幻灯、录象以及计算机软件等形象直观的呈现知识，这样才可能为学生自主探索留有比较充分的空间．数学实验创设的学习情境，能够从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，有利于学生从中发现问题、提出问题．学生亲历数学的发现和创造过程，才能了解知识的来龙去脉，使数学知识的学习成为有源之水，源远流长．通过数学实验教学，借助现代信息技术，还能够突出新课程所体现的算法的思想、编制程序思想和框图思想．
3.3数学实验硕果辉煌
张奠宙教授指出,“西方人研究问题有如西医,遇到病人就化验,研究病理,作实验,开刀破肚在所不计.东方人论证就象中医,凭经验,辨症施制,没有那套实验手续”.数学学习应该突破定势、定法，求异思变，学习西医打破沙锅问到底的精神．事实上，很多数学家在研究数学问题时使用的正是这种方法.例如，著名的哥德巴赫猜想，竟然出自数字的实验．著名的“哥尼七桥问题”，就来自于生活体验．“三等分角问题”，“倍立方问题”古老而直观．“四色问题” 、“费马定理”通俗易懂．计算机使数学实验锦上添花,“四色问题”应用计算机分了1482种情况,用了1200机时给予解决就是例证．通过数学实验的历程,可以产生不同的想法，提出新颖的问题,有感而发就可能迸发出创新的火花.
3.４数学实验的思想
美国实用主义教育家杜为威认为：“学校中的求知识的目的，不在于知识的本身，而在于使学生自己获得知识的方法”．数学实验的目的不仅仅是观看用物质仪器或技术手段的展示，更重要是传递一种学习方法和学习理念．数学学习处处体现实验、验证的观点．费马数就是一个典型的例子．对于式子，当 n取0、1、2、3、4时，这个式子对应值分别为3、5、17、257、65537，费马发现这五个数都是素数．由此，费马提出一个猜想：形如的数一定为素数．后人称之为费马数，并用表示．后来欧拉举出F5 ＝641×6700417的反例，验证费马猜想是个美丽的错误．
在中学数学教学中数学实验的思想经常用到．如方程增根的检验；假命题的举反例判定；反证法也是一种假设检验；特殊值法、特例法、特殊图形都体现了一种实验的观点．例如,在线性规划中，画不等式2x+y-6<0表示的平面区域的问题，只要将原点（0，0）代进不等式验证即可．
中学数学中也有很多经典实验的例子，如，椭圆的图钉和细线演示；双曲线的拉链演示；抛物线的三角板和细线演示；就形象直观的展示了三种曲线的形状特征．发挥多媒体教学实验功能,如用电脑演示平面截圆锥得到圆锥曲线即椭圆、双曲线、抛物线更加形象生动.
3.５数学实验蕴涵人文价值
数学实验既是一种基本方法和思想，又有着深厚的文化内涵．它不但能够应用于发现数学规律、检验数学命题、解决数学问题以及应用数学成果等，还可以使人形成良好的思维品质．数学实验经历数学体验过程，是从对数学内容的亲身感受开始的．在感受的基础上形成对数学学习内容的情感反应，情感促进主体对数学学习内容进行深入理解和产生丰富联想，进而对数学学习内容产生领悟和生成意义，领悟和意义反过来又加深情感反应．因此数学实验有利于情感体验和美德生成．数学实验的这种检验、反思的理念不但能够矫正学习上的思维和方法，同时还有利于自身优良品格的形成．如果我们教育者和受教者能形成经常检查、反省的习惯，对自身素养的提升具有重要的作用．在学习、工作、处事、交友等方面都会有好处的．
3.６数学实验能激发兴趣
如今数学课，由于高考升学的压力，重结论，轻过程现象还很严重．淡化了在科学突破上至关重要的实验、猜想、归纳、创新等能力培养，以至使学生越来越不明白数学从何而来，在她们看起来数学仅仅是定理、命题和公式汇集成的逻辑体系，以及纯粹数学题目的简单堆积．内容繁多、简单重复、枯燥乏味，使充满生机、充满活力、充满美感的数学丧失了它的本来应有的特色，因此使学生们的学习越来越缺乏积极性和主动性．爱因斯坦说过：“兴趣是最好的老师．真正有价值的东西并非从责任感开始，而是从人们对客观事物的爱与热忱产生”．数学实验教学正好可以创设一个善教乐学的良好的教与学的环境，使学生重新燃起兴趣之火，并且能对实验中生成的问题和想法产生浓厚的探究渴望．数学实验教学能够培养学生对所学内容具有特殊的认识倾向和情绪状态，使学生于轻松、愉悦、满意中获得知识．
4．几例数学小实验
数学实验系统包括实验主体、数学知识以及物质仪器或技术工具等．数学实验的类型大致可以分为操作性数学实验、思维性数学实验、计算机模拟数学实验等.
必修课程模块4：三角函数
［正弦函数图象］（二个小实验可供选择）
目标：通过实践演示形象直观地感受正弦曲线的图形特征，进而加深理解函数图象反映出的函数的相关性质．
（实验一）（沙摆实验）
器材：沙摆、薄纸板、实物投影仪
操作步骤：两名学生，一个摆弄沙摆，使它均匀摆动；另一个学生均匀拉动薄纸板。
现象与解释：随着沙摆的左右均匀摆动，沙子就会在纸板上洒下一个连续的曲线，即类似正弦型的曲线．为了让所有学生都看清楚，可以将结果放在投影仪上展示出来．
（实验二）（罗卜包纸切割实验）
器材：两根粗细均匀的胡罗卜、两张纸、两个剪纸刀
操作步骤：请两个学生，每人一个胡罗卜、一张纸、一把剪纸刀，用纸将胡罗卜紧紧包裹几层，将剪纸刀与胡罗卜垂直切下，使截面呈椭圆形，展开纸。
现象与解释：纸的截痕就呈现出类似正弦型曲线．然后让两名学生同时展示自己的作品，增强趣味性和竞争性．
（说明：从以上的图象演示过程中，曲线呈现形象直观．可以让学生们感受到正弦函数图象所反映出的几何特征，进而理解其性质．即对定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性、对称性（点对称、轴对称）、有界性（振幅）等有更加透彻的理解．）
必修课程模块数学5：不等式
[等臂天平称物实验]
器材：一架托盘天平、砝码若干
操作步骤：用天平托盘两面分别称同一个较轻的物品，看得到的重量是否相同．
现象与解释：重量相同．即准确的天平较轻的物品放在左右盘中分别称一次，结果是一样的．
[不等臂天平称物实验]
器材：电脑、flash动画课件
操作步骤：打开电脑，画面中展示一架不等臂托盘天平．
呈现问题：动画演示中，画面上右面演示不等臂天平称药的过程，左面出示问题．
问题１：某药店有一架不准确的天平（其两臂长不相等）和一个10克的砝码．一个患者要买20克的某种中药，售货员先将砝码放在左盘上，放置药品于右盘上，待平衡后交给患者；然后又将砝码放在右盘上，放置药品于左盘上，待平衡后交给患者．设患者这次实际购买的药品为m克，则m与20的大小关系怎样？
呈现问题：（播放动画演示；画面中出现一个不等臂天平，先在左盘中放置三根青椒得到一个重量，然后在右盘中放置同样的三根青椒又得到得到一个重量）
问题２：假设一个小贩用不等臂天平卖菜，他先在左盘称一次，称得a千克；然后在右盘称一次，称得b千克。说两次加起来取一半吧！请你参谋一下，买菜人是吃亏了？还是占便宜了？实际重量是多少千克？
现象与解释：患者实际购得的药品m克大于20克；菜的实际重量是千克，却要付重量为千克的钱，所以买菜人是吃亏了．
（说明：用实物和教具展示等臂天平称物的过程，身临其境，有真实感．用生活中的买药和买菜为背景设计数学问题，贴近生活．现代信息技术也为数学学习增添了乐趣．）
选修课程系列1模块1：圆锥曲线与方程
[圆锥曲线实验]
(1) 目标在初中几何里我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，得到的截面是一个圆．通过改变平面与圆锥轴线的夹角，观察得到一些不同的图形，它们分别是椭圆、双曲线、抛物线．通过观察平面截圆锥面的情境，获得自身体会，由此使学生对即将学习的“圆锥曲线”有一个感性的认识．
器材：盛有一定带颜色的水的圆锥形杯若干，塞上瓶塞，每桌一个．
(3) 操作步骤：将烧杯按不同角度放置，观察水面图形边界的形状．
(4) 现象与解释
设圆锥母线与轴的夹角，水面与轴线的交角为．
当时（即水面与杯底平行时），水面图形边界的形状是圆；改变水面与圆锥轴线的夹角，当＝时（即水面与杯子的母线平行时），水面图形边界的形状是抛物线；当水面与既不与杯底平行，又不与母线平行时，即当＞时，水面图形边界的形状是椭圆；即当＜时，水面图形边界的形状是双曲线
5．对数学实验的反思
5.1新课程的困惑中学数学教学解题技能的题海演练，占用了数学教学绝大部分时间，数学解题,说到底不过是一个技巧,一个想法而已．数学新课程特别重视学生做数学的过程，尤其关注数学实验、数学建模、课题研究等．另外现代教育技术所创设的实验环境也为数学实验教学提供了很好的平台．我省刚刚采用新课程，使用中也面临一些困惑，评价滞后，存在高考难易程度不确定及新课程内容如何体现等问题．有的学校出现新瓶装旧酒现象，新教材老教法；教辅混乱，教材简单作业难；课时不足，教师按新课程的课时要求完成教学任务难度很大；探而不究，课堂上往往是浅尝辄止．因此我们每一个教育工作者都应该关注、探讨和研究新课程，使之真正达到提高学生综合素质的目的．
5.2与教学内容脱节有些教师也用实验的形式引入，但却感到内涵不足，或者仅仅就是开个头，没有从实验产生的现象或发现的问题展开研究与探索，课堂进行的内容与实验关系不大．数学实验不要追求形式，重要的是体现实验在这节课中的价值．通过实验形象直观的呈现知识、发现有价值的问题或将重要的结论给予验证．因此数学实验教学的目的就是要时刻体现教学实际，为学生深入探究创设有利环境，是达成教学目标的有利支撑．
5.3正确对待实验价值　弗赖登塔尔说过：“人们不懂音乐何可以唱歌，不学机械力学仍照样获得熟练的手艺与实验技能……而数学必须将学生提高到更高层次，如果不是全面提高，也至少要在某一部分上，那样他才能理解最低层活动的意义”．因此数学实验教学不能只停留在操作层面上，还应上升到抽象层面去理解教学．数学实验不是万能的，不可能整章整节课都是实验，数学学习离不开运算、推理和证明．数学实验只是针对某些教学内容展开的，他可以成为开展数学学习的切入点或突破口．有些实验可以成为数学问题或想法产生的一个生长点或发源地，由此产生思维碰撞，从而发现或提出新的问题．
5.4突破形式注重内涵　数学实验与理、化、生实验还有区别，因此数学实验不要过分强调实验器材，要体现一种理念和意识．根据一定的环境和条件下，带有实验意图和想法的活动，当然包括手工制作、实物模型及数学教具的实验展示；以计算机和多媒体数学软件为平台模拟实验环境；师生的肢体动作实验以及大脑的思维实验等等．
5.5经济使用　虽然数学教具和计算机软件的设计和开发的难度很大，现代化设备需要经济基础．数学实验也可以因地制宜手工制作，或利用简单的模型，还可以肢体动作模拟，或用大脑这个实验室进行思维实验，因此很多数学实验投资小，见效快，经济使用．比如，用一张纸将一根粉笔裹缠几层，然后用刀子将其倾斜着割开，呈现在学生面前的割痕就是一条直观的三角函数曲线．简单、经济、实用体现数学实验的特点．
最后我想说，数学的思想才是数学的核心．掌握数学思想方法，认识客观世界的数量变化规律，并用于认识世界和改造世界，才是数学科学的真谛．数学实验既有外在的直观展示和体验，又有丰富的思维和文化内涵，因此数学实验为数学学习带来了新的生机，通过数学实验的平台可以传承着一种方式方法、一种精神和一种文化．
参考资料
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（２）李晋渊，刘坤．数学实验课的教学价值. 数学通报.2000.10.1
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（６）柳子军．由两则数学思想实验引发的教学思考.数学通报.2005.2,27
（７）常丽艳．中学数学实验课设计范市式及其主体认识分析. 数学教育学报.2005.5(2).47
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