何处分类讨论？ 宁波华茂外国语学校 熊青厚 315192 分类讨论思想是数学中的一种重要的思想方法和解题策略，它是逻辑划分思想在解数学题中的具体运用，讨论时要注意“起点”的寻找和“层次”的划分，做到“起点”合理、自然，“层次”明确、清晰.分类的原则是“既不重复，也不遗漏.” 分类讨论在历年高考中，特别是在综合性的题目中常常出现，是重点考查的数学思想方法之一.这种数学思想方法几乎涉及中学数学内容的各个部分，点多面广、综合性强，不少学生在高考复习时，忽视分类讨论或讨论中发生逻辑错误的现象屡见不鲜.关于分类讨论的动因和方法，汪江松先生在其著作《高中数学解题方法与技巧》中已有精辟地阐述，本文就高中数学可能涉及分类讨论的主要知识点加以小结，期望对同学们的高考复习有所帮助. 1 集合与简易逻辑 1.1 集合中的元素应满足互异性 例1 ,若,求实数a的值. 解析: 需分或或三种情况讨论，且须检验所求a值是否能保证集合中的元素满足互异性.答案a=0. 求集合或元素的个数 例2 已知非空集合，且若则,那么集合M的个数为_____. 解析: M可能含个元素，讨论后得不同的M为共7个. 因的特殊性而引起的讨论 例3 若,求实数m的取值范围. 解析：需分讨论.当时，,即当时，即综上知，m的范围是. 2 函数 2.1 含参数方程 例4 设使方程有唯一实数解,则A用列举法可表示为______. 解析： 此题应分和两种情况讨论.答案. 2.2 二次函数的对称轴与自变量区间相对位置的不确定性引起讨论 例5 设的最小值为,求的表达式. 解析: 的对称轴为直线x=1.分三种情况讨论： 即时， 当t>1时，在上单调递增， 当t+1<1即t<0时，在上单调递减， 综上所述，. 对于求含参函数的定义域，或已知其定义域，求参数的取值范围，必须对字母的取值情况进行分类讨论 例6 已知函数的定义域为R，求a的范围. 解析: ①对恒成立. 当时，应有或. 当时，若,则①为非绝对不等式;若，则不等式①为是绝对不等式，所以a的范围是 涉及指数、对数函数，常对底数进行讨论 例7 求函数的单调区间，并指出其增减性. 解析: 令则的递减区间是,递增区间是.又当a>1时，在R上是增函数;当0<a<1时，在R上是减函数，所以，当a>1时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是;当0<a<1时, 函数的单调递减区间是，单调递增区间是. 2.5 涉及分段函数，求时常需对进行讨论 例8 已知,则不等式的解集为_________. 解析: 时，不等式变为x+x,即不等式解集x<0时，不等式变为即不等式解集 2.6 求单调函数中参数的取值范围 已知函数是在区间上的减函数，则a的取值范围是___________. 解析： 当时，要使函数在区间上单调递减，则必有即当a=0时，函数显然符合题意.故a的范围是 3 数列 3.1 已知求,需分和讨论 例10 为数列的前n项和，且求数列的通公式. 解析: n=1时，当时，则时，又n=1时也成立，故 等比数列求和时，常分q=1和讨论 例11 求和 解析: x=1时，;时，①，②,①-②得=(x=0时仍成立). 4 三角函数 4.1 三角函数中，涉及到形如的角，常分n 为奇数或偶数讨论 化简： 解析：当k为偶数时，值为-1;当k为奇数时，值也为-1. 4.2 已知三角函数值求角，常需对角的位置讨论 例13 已知求. 解析: 在第二或第四象限.讨论后得=或 5 平面向量 5.1 考虑的特殊性 例14 若是否一定有 解析: 当时，不一定有;否则一定有. 已知两边和其中一边对角解三角形时，常需讨论解的个数 例15 中，解三角形. 解析: ,三角形有两解.由正弦定理得,或.当时，当时，. 使用定比分点公式时，常需分内、外分点两种情况讨论 例16 设,点P在直线上，且,求P分所成的比. 解析: 当P是内分点时，P分所成的比为;当P是外分点时，P分所成的比为 6 不等式 6.1 使用均值不等式时，常因因子符号的不确定性而讨论 例17 求函数的值域. 解析: x>3时，（x=4时取“=”）; x<3时，（x=2时取“=”）.综上函数值域为. 解含参数的不等式常需讨论 例18 解关于x的不等式 解析: 原不等式等价于或 当时，解集为当时，解集为当时，解集为. 7 直线与圆的方程 7.1 求直线的斜率和倾斜角 例19 已知两点A(m,2)、B(3,1),求直线AB的斜率、倾斜角. 解析: 设直线的斜率为k,倾斜角为.当m=3时，k不存在，当时，. 求直线方程时，常需考虑截距是否为零，斜率是否存在 例20 求经过点A（-5，2）且在x轴、y轴上截距相等的直线方程. 解析: 当截距为零时，直线方程为当截距不为零时，直线方程为 判断两条直线位置关系时，常需考虑斜率是否存在 两条直线当m为何值时，与(1)相交;（2）平行;(3)重合. 解析: (1) (2)m=-1或m=0; (3)m=3.（过程略）. 8 圆锥曲线方程 8.1 含参数的二元二次方程所表示曲线类型的讨论 例22 讨论方程所表示的曲线类型. 解析: (1)当时，即时，方程所表示的曲线是圆; (2)当,即时，方程所表示的曲线是椭圆; (3)当时，方程所表示的曲线是双曲线. 求圆锥曲线方程时，常因焦点位置不确定而引起讨论 例23 已知双曲线C的两个焦点是、实半轴与虚半轴长的积为直线过且与线段夹角为,且与线段垂直平分线交点为P,线段与双曲线的交点为Q,且,求双曲线方程. 解析: 当焦点在x轴上时，曲线方程为当焦点在y轴上时，曲线方程为（过程略）. 在研究直线与圆锥曲线交点个数问题时，不仅要由来判断，同时还要注意二次项系数对交点个数的影响 例24 已知双曲线,直线讨论直线与双曲线公共点个数. 解析: 联立方程组消去y得 当即时，方程化为2x=5,方程组有一解，故直线与双曲线有一个公共点，此时直线与渐近线平行. 当即时，由得时，方程有两解，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点. 当，由得时，方程组有一解，故直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线相切. 当，由得方程组无解，故直线与双曲线无交点. 综上所述，当或时，直线与双曲线有一个公共点;当且时，直线与双曲线有两个公共点;当直线与双曲线没有公共点. 9 直线、平面、简单几何体 9.1 由点与线、点与面、线与面、面与面的位置关系的不确定性而引起的讨论 例25 已知a、b、c、d是两两相交且不共点的四条直线，求证：a、b、c、d共面. 解析： 证明时需分有三线共点和无任何三线共点两种情形. 不共线的三点A、B、C到平面的距离相等，则平面与平面ABC的位置关系是______________. 解析: 需分A、B、C三点在的同侧和异侧两种情形，答案：平行或相交. 关于棱柱、棱锥与球的切接问题，常因圆心与所接切体的位置关系不确定而引起讨论 例27 在半径为15的球内有一个底面边长为的内接正三棱锥，求此正三棱锥的体积. 解析: 正三棱锥的底面半径为12，当球心在三棱锥内时，高h=24，当球心在三棱锥外部时， 10 极限 10.1 求时常引起讨论 例28 已知常数均大于1，且都不等于2，求 解析： 当p>q时， 所以当p<q时，所以当p=q时， 参考文献 汪江松.高中数学解题方法与技巧.武汉：湖北教育出版社，1995 罗增儒.数学解题学引论.西安：陕西师范大学出版社，2001
