数学知识的掌握和学习能力的培养很多情况下是通过解题训练来实现的。学生解题效率直接反映出知识掌握的程度，思维能力的高低。发展数学能力提高数学素养主要地就是发展数学思维的深刻性品质，培养反思能力是提高批判性思维品质的有效途径，因而也是提高深刻性思维品质有效途径，进而也是发展数学能力素养的有效途径。现实中，学生解题只求速度，不注重效益，无法做到“做一题、知一类、会一片”，往往事倍功半，成绩不理想。解后反思是医治上述通病的一剂良方。实践证明解后反思是解题活动中不可缺少的一环，是“画龙点睛”的一笔，是驱动思维能力提升的“催化剂”，也是提高解题效益的有效途径。因此，解完一道题并非大功告成，还应进行必要的反思，从中理解知识内容的内涵、外延以及解题策略技巧，从反思过程中汲取经验教训，巩固和扩大解题成果，实现知识与问题的举一反三，解题效果的事半功倍，思维能力得以培养与提升。那么，解题后怎样进行反思呢？ 一．思题目所涉及的知识，训练思维敏捷性 高中数学的基本内容是有限的，但题目却灵活多变。同一知识点，命题者可以从不同的角度、不同的层次、以不同的题型进行命题。面对新题型，新情境问题，同学们往往会觉得很难下手。主要原因在于同学们理不清所考查到的知识点，因而对题意的理解就不到位。于是，反思题目所涉及到的知识点，反思对题意的理解过程就显得非常重要。在解完一题之后，对题意最初的理解进行深入思考，反思审题时的遗漏知识，为何会遗漏，题中哪些信息不明了，为何会不明了，对题意的理解存在什么样的偏差，为何会有这样的偏差，等等， 在反思过程中达到对某些知识的补漏，知识结构的优化，思维更加有序合理。 例1：是两个不同的平面，是平面之外的两条直线，给出4个论断：① ② ③ ④ 以其中3个作为论断的条件，余下一个论断作为结论，写出你以为正确的一个命题： 解决此题的关键是弄清4个论断即4种空间位置之间的联系，如：由且可知，直线 与平面的位置关系是，若，则当时，有成立；而当时总可在内找到一条与平行的直线（线面平行性质定理），当时，就有成立，故有。所以，当②③④成立时得到①成立。同理，当且时可知间的位置关系是：，若，则当时有（两平面垂直判定定理），而当时总可以在面内找到一条与平行的直线（线面平行性质定理）则当时有所以，即当①③④成立时②也成立。 二．反思解题过程，积累解题经验，训练思维深刻性 反思解题过程就是指对解题思路和解题策略进行反思，它包括对解题策略选择和运用的成与败两方面反思。在解题过程中，难免会出现这样那样的错误，这些错误既有知识上的缺陷和思维能力上的不足，也有非智力因素的影响。因此，学生通过认真反思自己的解题过程，认识在审题时所遇到的困惑以及在解题过程中所走的弯路，通过自我剖析找出原因，反思解题思路和策略的成功之处，分析它们的特点、适用条件，概括出思维规律；比较借鉴教师和其他同学的解题思路，改进自己的思维方式，熟练掌握解题技能，积累解题经验，培养良好的思维习惯，激发思维的深刻性。
按上述过程解题后，反思题目信息，对题给信息进行再加工，便可知三角形中的边角之间有密切的联系，由于在中由正弦定理有所以在本题中有，又由于为锐角可知也为锐角， 三．反思解题方法，总结规律方法，训练思维发散性 许多数字试题重在考察学生思维的全面性、深刻性和灵活性。所以同一 题，从不同的角度去分析研究，可能有不同的理解，引出多种不同的解法。在解题时，我们不能仅仅满足于一种解法，要养成在解题后反思解题方法的习惯；从不同的角度去研究问题，摆脱原来的思维模式，发现原来思维过程中的不足，探索出新的解题途径，防止思维定势，寻求最佳的解题方法，及时总结各类解题技巧，养成“从优、从快”的解题思维方式，提高解题效率， 从而更进一步来完善思维过程，激发思维的创造性和灵活性。 例3：已知等差数列中，，求的值 方法1：设该数列的公差为，由条件得：
方法2：设该数列前n项和为，则：
方法3：是关于的二次函数，点在一条抛物线上，点关于抛物线的对称轴对称，把对应点分别向左、向右移动个单位，则抛物线上两点仍关于抛物线的对称轴对称
方法4：，则利用一次函数，再利用斜率公式求解。 通过反思一题多解，引导学生总结解题规律，培养学生的良好心理素质，拓宽学生思维，优化思维方法，发挥学生自身潜能，培养学生创新意识和创新能力。 四．反思解题结果，确保答案准确严密，训练思维严密性和批判性 解题后的验证过程是确保答案准确无误的一种有效做法，有助于良好的解题习惯的养成，有助于提高学生的审题能力和良好思维品质。鉴于数学问题的特点，要求学生在解答时一定要认真细致，切不可马虎大意，一方面确保答案准确无误，另一方面考察审题严密规范，逐步养成良好的解题思维习惯，培养思维严密性和批判性。 例4：已知方程表示圆，求圆心C的轨迹方程。 解：设圆心坐标为 那么这种解题过程是否正确完整？如果解完后能这样反问一下，那么也就很快能发现其中的破绽了，此题的解法忽略了由已知表示圆的充要条件是：
因此所求圆心的轨迹方程是 五．反思问题的变式，实现举一反三，提高思维品质 题目解完了，并不等于解题任务的结束，有时对题目的题干条件进行适当的变换，对数据进行衍变，对知识内容进行拓展，对设问内容进行延伸转化，对命题方向进行改变等变式训练，不仅能加强对基础知识的理解与运用，而且能拓宽深化解题思路，探索解题规律，培养创新能力，提高思维品质，增强应变能力，实现举一反三，触类旁通，胜利走出题海。 例5：在椭圆上求一点，使它到两焦点的连线互相垂直。 我们可以对它逆向变换得到变式。 变换1：已知椭圆上存在一点P，它与两焦点的连线互相垂直，求此椭圆方程 变换2：已知椭圆上一点，椭圆的两焦点为，求的面积。 反思一题多变，可以对某个知识点进行系统分析研究，挖掘知识间的内在联系与外延，使知识系统化，同时提高学生的审题，应变能力。 类似的变式训练很多，请同学们在平时的学习过程中注意拓展联想，重视一题多变训练，提高知识整合，系统扩展，综合运用能力，真正实现“解一题、知一类、会一片”，做到事半功倍，提高学习效率。 总之，思源于疑，学起于思，反思是学生的驱动器，反思过程又是实现创新学习，摆脱“题海”的行之有效的方法，让我们不断反思吧！
