从“中考探索性问题”到“课堂探索能力的培养”——谈初三几何探索性复习课的初探

从“中考探索性问题”到“课堂探索能力的培养”——谈初三几何探索性复习课的初探
摘  要：本文从探索“中考探索性问题”入手，阐述了教师如何设计探索性问题，如何在课堂上培养学生探究能力，提出了宁可少讲知识，也要探究，也要创新的观点。
 关键词：探索性问题、探索能力、有效复习、创新
 
 探索是人类认识客观世界过程中最生动，最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，它对培养学生思维的创造性、深刻性、发散性有着独特的要求。新课标指出，数学学习不仅包括数学的一些现成的结果，还有包括这些结果的形成过程。探索性问题已成为课改思想的具体体现的热点之一，纵观全国各地中考试题，探索性试题已成为中考压轴的主要题型来源。这些中考探索性问题不仅可以考查学生发现问题、自主探究、解决问题等综合能力，暴露出学生在解题过程中的思维品质，还能反馈学生对数学思想方法的掌握情况。这点中考探索性问题又是在新课程理念下培养学生观察、实验、操作、归纳、猜想的直观思维能力和合情推理能力的好材料。
 我们应重视探索。课堂上应重视对学生探索能力的培养。怎么培养？对于我们这些长期受演绎论证训练的教师来说，缺乏“探索能力”，很容易忽视直观思维的存在和作用，虽对“探索”有所重视，但这重视只不过停留在由几道探索型题目组成的专题讲解上，在中考指挥棒下，很多老师的课堂由大量的例题组成，大容量、大密度的满堂灌，根本没留出或没有充分的时间让学生探索，学生没有探索，那“探索能力”的培养又从何谈起。
 笔者从培养自身的探索能力入手，认真探索众多的中考探索性问题，从这些问题中受到启发，试着利用改编、设计探索性问题，努力创设探索型几何复习课。以下是笔者觉得对自己启发较大的几种探索性问题。
利用平移、旋转构造的探索性问题：
“平移、旋转”是图形的基本变换，它对发展学生空间观念，丰富学生对空
间图形的认识与感受，使学生经历观察、操作、推理、想像等探索过程。如下例：
一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在
一起。现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转。

 ⑴如图2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
 ⑵若三角尺GEF旋围到如图3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，⑴中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
 受这类题的启发，我在备课时，把一些证明题中静止的图形进行图形变换来设计探索题。如：
 
 已知：如图，是的高线，且，
 是上一点，且，求证：
 ⑴线段与间有什么关系？并证明你的结论。
 ⑵连结，若把绕顶点旋转一角度，使
 点分别落在内和  内，画出图形，
 探索⑴中结论是否成立。
 
 课堂中学生通过对这类问题探索，会用运动的眼光看问题，锻炼了学生观察图形的能力，能利用类比的思想从变化中找出不变的规律，同时也训练了他们，通过平移旋转来处理图形，使他们在特殊的图形、简单的图形中得到启发而进行猜测。
运用类比思想构造的探索性问题：如下例：
 问题背景  某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：
如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON = 60°，则BM = CN.
如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON = 90°,则BM = CN.
 然后运用类比的思想提出了如下的命题：
如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON = 108°，则BM = CN.
任务要求 
 （1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；（说明：选①做对的得4分，选②做对的得3分，选③做对的得5分）
 （2）请你继续完成下面的探索：
如图4，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，问当∠BON等于多少度时，结论BM = CN成立？（不要求证明）
如图5，在五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，当∠BON = 108°时，请问结论BM = CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.

 （1）我选           .
 证明：
 
 受该例的启发，利用类比的思想把一些知识串在一起来让学生探索。如在复习三角形中位线内容时，我这样设计探索：
 探索一：
 ⑴E、F分别是中AB、AC边上的中点，连结EF，我们得到了什么线段，它有什么特征？
 ⑵如何把三角形剪拼成一个平行四边形？矩形？
 探索二：
 ⑴把三角形换成四边形，探索中点四边形问题。
 ⑵如何把四边形剪拼成一个平行四边形、矩形？
 探索三：
 ⑴把四边形换成梯形，连结梯形两腰中点，得到什么？它有什么特征？
 ⑵取梯形上、下底中点并连结，这条线段的长是否等于两腰和的一半。
 我们还可以取梯形对角形的中点与梯形中位线联系起来，还可以加条件：如当对角线互相垂直，对角线夹角为时……让学生在这样的不知不觉的探索中加课对知识理解的广度和深度，并且能培养学生用类比的思想来进行探索。
二、规律探索性问题
这类题型十分常见，要求学生从所提供的图形，数字信息中寻找共同之处，
观察、分析、猜想、归纳出一般规律，探索这类题型可引导学生从特殊情况进行研究、归纳、概括，如下例：
 观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律：
 ⑴请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式：
 
 
 ⑵通过猜想，写出与第n个图形相对应的等式。
 
 受这类题型的启发，我在复习图形的初步认识时让学生探索下面这些规律：
 ⑴直线上有几个点，则共有_________条线段；
 ⑵以O为端点引n条射线，当得到的最大角小于平角时，小于平角的角的个数为___个；
 ⑶n条直线最多有______个交点；
 ⑷过任三点不在同一直线上的n点一共可画______条直线。
 ⑸平面内n条直线最多将平面分成________个部分。
 探索这类问题时，引导学生从特殊值即当n为1、2、3……入手进行探索，从中发现规律、归纳小结。教师通过这类问题，有效地培养学生用“特殊——一般”的思想来进行探索，培养学生从特殊的事例中寻求一般规律的能力。
四、方法探索性问题，这类问题考查学生对一些已学方法的掌握程度。如下
面两例：

 1、已知中，，AC=6，BC=8。
Ⅰ、如图①，若半径的的⊙
是的内切圆，求；
Ⅱ、如图②，若半径为的两个
等圆⊙、⊙外切，且⊙
与AC、AB相切，⊙与BC、AB
相切，求；
Ⅲ、如图③，当n是大于2的正整
数时，若半径为依次外切，且
⊙、⊙、…、⊙依次外切，且⊙与AC、AB相切，⊙与
BC、AB相切，⊙、⊙、…、⊙均与AB边相切，求。

在学习扇形的面积公式时，同学们推得，并通过比较扇形面积公式与弧长公式，得出扇形面积的另一种计算方式。
接着老师们让同学们解决两个问题：
 问题Ⅰ，求弧长为，圆心角为的扇形面积。
 问题Ⅱ，某小区设计的花坛形状如图中的阴影部分，已知AB和CD所在
圆的圆心都是点，AB的长为，CD的长为，AC=BD=d，求花坛的面积。⑴请你解答问题I；
 ⑵在解完问题Ⅱ后的全班交流中，有位同学发现扇形面积公式类似于三角形面积公式；类似梯形面积公式，他猜想花坛的面积。他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由。
 
 从第1题中受到启发，当我在复习三角形内切圆时，进行了这道题的探索渗透，当学生在探索时不单巩固了“面积法”，而且引导学生用“类比”的思想进行探索。
 从第2题中受到启发，我可以把一些老教材有而新教材没有的知识，作为探索的材料，让学生在探索中进一步巩固了课本知识和方法，提升了学生对知识更深、更广的理解。同时为教师处理教材提供了思路，教师以课本知识为基础，以探索课本延伸知识或相关知识为手段促进知识的巩固、方法的掌握，使课堂效果更好。我曾让学生探索圆台的两个侧面积公式，探索圆中的一些成比例线段（圆幂定理），相似多边形的探索……学生的成功探索让我更自信，对于考试我无需压题、猜题，不需要搞题海战，学生的解决能力提高了，还怕什么。
 在课堂中探索多了，学生的胆子大了，会尝试用不同方法进行多方面探索，而同时在学习设计探索性问题时，我的课堂探索问题的设计能力也增强了。
 比如我会利用印错的题目让学生探索，培养学生用反证法来探索，如下列：
 
 在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，E是CD的中点，且AB=AD+BC，则△ABE是
_______三角形。

 此题没有图，学生大部分答案是直角三角形，而我在探索中否定了直角三角形，题目所提供的答案是等腰直角三角形。我把该题拿到了课堂，引导学生假设BE⊥AE，然后把△ADE绕点OE旋转180°，与
△FCE重合（如图），发现在△FCB中，BF<FC+BC，
从而得到BF<BA，而由BE垂直平分AF又得到
BF=BA。两者产生矛盾，从而假设错误。我还让学生从“等腰直角三角形”这个参考答案入手，让学生大胆地修改已知条件。
 再如：新课标降低了对逻辑推理的要求，于是现在学生在逻辑推理的能力也相对弱了，而作为教师的我逻辑推理是强项，我把一些学生的困难题放在课堂里，引导学生从不同的角度、不同的方法探索，用多种方法证明，如下例：
 
 如图，已知△ABC为等边三角形，点D为BC边上
的任意一点，∠ADE=60°，DE与∠ACB的外角∠ACM
的平分线CE相交于点E。
 求证：AD=DE。
 
 该题作为作业时，很多同学感到困难，我在课堂中分别通过构造全等三角形，通过证相似，通过翻折多种方法来引导学生证明，很多学生在反思中后悔自己怎么没有继续探索下去，其实有很多解决问题的方法。
 我在复习“空间与图形”这部分内容时，我的每一节课都是探索课。利用探索复习双基，再利用中考探索性问题来培养学生的探索能力，同时巩固和提升了课本中所学的知识，最后再设计一个个的新探索问题让学生探索。学生是课堂的主人，他们自主探究，热烈讨论，创新的火花时时涌现。这样复习课产生好的效果是显而易见的。
 通过探索，使我们感到学习数学是有用的，可以利用所学的知识解决问题。探索能力具备了，创新能力增强了，探索性问题存在于各个领域，还怕我们的学生成为高分低能吗？
 其实在探索中更多的是失败，但正是因为这种失败的经验来帮助学生不断地进步，他们在失败再失败后尝到成功的喜悦，在失败再失败中提高了探索创新能力。
 其实开设探索性课堂，教师备课压力相当大，但教师课前的探索，课堂中与学生一起交流探索，教师从学生中学到很多，这在“教师一言堂”的复习课中是得不到的。学生在探索中成长，教师也在探索中成长。
 为了设计探索问题，培养学生的探索能力我经历很多曲折，还在不断的尝试，不断地改进。我用我的尝试告诉大家，课堂上宁可少讲些知识（例题），也要探索。有了探索就会有创新，就有发展。试着探索吧，你一定会受益非浅的。

参考资料：
 2006年全国各地中考试卷  
 关文信主编的《新课程理念与初中数学课堂教学实施》