计算器进入初中数学课堂后存在的问题和对策

计算器进入初中数学课堂后存在的问题和对策

一、前言
我国2001年颁发的《数学课程标准》中，关于计算器的教学要求，论述较为具体，提出的要求也比较高，把计算器的教学放到了前所未有的地位。下面这段文字引用了《数学课程标准》的原话。
“数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响……。能借助计算器进行复杂计算和探索数学规律……。在课堂教学、课外作业、实践活动以及考试中，应当允许学生使用计算器。”
由此可见，计算器进入数学课堂势在必行。以前，因为禁止学生使用计算器，结果使学生背上了繁重的计算包袱，探索数学问题缺少了必要的工具。现在，在小学还被禁止使用计算器的初中生，如获重释，计算器成了他们必不可少的学习工具，下面的调查说明，大多数学生表示“早就应该这样做了”。计算器进入数学课堂后，展现在我们面前是一幅美好的前景，学生不仅仅摆脱了复杂的计算，而且改变了学习方式、思维方式，学习效益大为提高。于是也导致了数学教学方式和教学内容的改变。
但是，在可喜的现象背后，却隐藏了令人担忧的问题。学生使用计算器的过程中出现了二个问题，一方面学生滥用计算器，再简单的计算也依赖于计算器；另一方面该用计算器的时候没想到去用（具体数据参见问卷结果）。教师在引导学生使用计算器的过程中，也出现较多的问题，要么禁止学生使用计算器，要么放任自流，在命题时忽略了可以使用计算器的因素，对于学生利用计算器解题的思路措手不及。本文就以上的诸多问题进行剖析，谈谈怎样正确引导学生合理使用计算器。
二、计算器进入初中数学课堂教学以后学生的解题行为发生了许多变化
现在，学生的解题行为发生了哪些变化？不关注这一点，就会在教学中处于被动状态，教学可能会变得盲目，命题的质量就会受到影响。下面列举的例题，选自学生平时的作业或练习，有些解题方法虽然很个别，但很有创意，很值得关注。
1、计算器能解决以前难以解决的数学问题
例1．按一定规律排列的一组数1，，，-2，，……，如果从1开始依次连续选取若干个数，使它们的和大于2，那么至少要选几个数？
分析：在没有使用计算器的过去，这一题就比较困难了。现在用计算器依次相加，每加一次显示结果，直到和大于2为止。（答：11个）
2、许多计算问题被计算器代替
如有理数的计算，无理数的计算，代数式求值，标准差的计算，三角函数计算，科学计数法的表示等都可以借助计算器来完成。
例2．
1、计算(－2)2×(－)2 －1÷(2)2   (计算器有准确计算分数的功能)
2、计算－2＋－ (计算器有准确计算二次根式的功能)
3、当a=，b=时，代数式5(a2b－ab2)-(ab2+3a2b)的值是        （学生可以不化简，而是直接代入用计算器计算）
4、用科学记数法表示 -48300000000=        ，0.0000000002876=        (计算器可以完成科学记数法的表示)
5、比较下列各数的大小：（1）与；（2）cos52°与sin42°
在计算器没有进入课堂之前，这类题目往往是考察学生数学知识点的，但现在这样题目就失去了原来的意义。所以我们教师命题时要改变原有的思路。
3、用计算器解决某些几何计算及证明问题
例3．如图1，已知：∠B=90°，∠ADE=90°，DE=BC=DB=1，AB=3。
求∠CAE 的度数。
分析：此题考查的是三角形知识，如图2构造等腰直角三角形，所以∠CAE=45°，这是常规的思维，但学生不容易想到。我的一位学生是这样解的：
∵tan∠CAB=，tan∠DAE=，∴∠CAB=18.43494882°，∠DAE=26.56505118°，
∴∠CAB+∠DAE=45°=∠CAE。
可以看出，这个学生计算器已经摆弄地相当不错了。在计算过程中虽然出现了近似数，但你能认为他的解法错了吗？
例4．如图3，已知正方形ABCD中，E、F分别在DC、BC上，DE=3EC，EF平分∠AEC，求证：CF=BF。
分析：此题的常规解法是，如图4延长EF和AB交于G，如果设AD=4a，容易求得DE=3a，AE=AG=5a，CE=BG=a，所以△CEF≌△BGF，所以CF=BF。
同样有位学生没有想到上面的常规解法，他使用计算器的意识特别强，解法如下：
∵tan∠AED=，∴∠AED=53.13010235°，∠CEF=63.43494882°，设CE=a，∴CB=4a，CF=CE·tan∠CEF=a·tan63.43494882°=2a,
∴BF=2a, ∴CF=BF。
我找来这位学生问：“如果有人认为证明过程中使用了近似数，证明无效！你怎么办？”于是这个学生就想出了一个综合列式：
CF==2a。
4、用计算器探索一些规律
例5．任意给定四个互不相同的数字，组成最大数和最小数，并用最大数减去最小数。对所得结果的四个数字重复上述过程，你会发现什么呢？
分析：该题用计算器来探索较为方便，结果在7，6，4，1这四个数字进行死循环，也就是人们常说的“数字黑洞”。
从以上四个问题所举的若干例子中，我们可以看到计算器教学发展的趋势，这个趋势必将导致学生解题思路的改变，从而使学生的学习方式发生着潜移默化的变化。
三、使用计算器的过程中出现的问题及其导致的后果
现在，计算器进入初中数学课堂以后，究竟状况如何呢？状况确实令人担忧！
学生在使用计算器过程中出现的现象
其一，是滥用计算器。再简单的计算也依赖计算器，例如计算-2+3，，等，本应口算完成的计算，很多学生都用计算器完成（问卷的第2题可以证明这个事实）。
一天课堂里，教完勾股定理后，我要同学们做一道题：
一个直角三角形的斜边为39，一条直角边为36，求另一条直角边。
完成后同学们报出了正确答案，经统计全班有92.3%的人是使用计算器完成的。接着我要求大家不用计算器完成计算，结果统计如下：
用方法1计算的占35.9%，用方法2计算的占23.1%，用方法3计算的占15.1%，还有25.9%的人不会算。
方法1
方法2
方法3
（下面问卷结果中的第11题，B、C、D分别表示上述的方法1、2、3）
由此看出，我们的学生摆脱计算器后，计算能力竟如此低下，虽然使用计算器较快得出结果，但是却失去了巩固已学知识（如平方差公式、因式分解等）的机会。
其二，是该用计算器的时候没想到去用。
计算器不仅可以帮助我们完成计算题，还可以用来进行近似计算（估算）、检验结果是否正确、解决几何计算及证明、索数学规律等，这是学生应具有的基本思想和技能，可是这一点学生差异很大，多数人缺乏这种思想和技能。像上面的例4，能和我学生做法一样的人还没有见过。例5就曾经出现在一次考试中，全年级只有36.4%的人做对。
教师在引导学生使用计算器的过程中出现的现象
其一，禁止学生使用计算器。尤其是初一年级，很多数学教师下了这个禁令。也许这样的教师初衷是想提高学生的计算能力，但岂不知这是扼杀学生的创造力，剥夺学生的学习权利，加重学生的学习负担，是与新课标背道而驰的。
其二，放任自流。
这样的教师对学生使用计算器的情况不闻不问，不加以正确引导，从而所教学生中使用计算器的问题比较严重。
其三，命题时不考虑计算器的使用。
目前，学生所用的数学资料、试卷、日常作业中都会发现大量不合适的题目，这些题目在计算器开放的今天已经没有存在的必要了，如上面提到的例2。但我们的教师却忽略了这一点，结果往往达不到预期的效果。
以上现象导致了哪些后果
计算器的使用在一定程度上是对初中数学双基教学的挑战，有了计算器，许多学生的双基变得薄弱。
导致后果之二是数感降低，新课标非常强调数感，一共在8处提到数感，新课标指出：
数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。
我认为数感还应包括：能寻找数与数之间的关系，能发现若干个数排列的规律等。数感降低后，以上的各种能力会削弱。学生经常在作业中暴露出数感差的一些问题。
4、从调查问卷中看存在的问题
为了更加清楚地了解计算器进入初中数学课堂以后，存在的问题和导致的后果，我利用校园网络组织一次《学生使用计算器情况》问卷调查（问卷见附录），参加的对象是我校近1000名学生，其中初二、初三统计表中的第11题A表示做错，B、C、D分别表示第3页所述的方法1、2、3。结果如下：
初一年级问卷结果（单位：%）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A 57.4 27.4 32.9 10.5 64.5 50.0 55.3 63.1 3.9 59.2 对50.0 对50.0
B 36.8 44.7 36.8 60.5 25.0 19.7 39.4 21.8 13.2 26.3
C 2.6 26.6 17.1 22.4 3.9 17.1 3.9 11.2 77.6 2.7 错50.0 错50.0
D 3.2 1.3 13.2 10.5 6.6 25.0 1.4 3.9 5.3 11.8
初二年级问卷结果（单位：%）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A 47.0 22.5 30.1 13.2 44.3 37.6 71.5 35.2 3.1 44.0 30.8 对69.2
B 38.6 32.4 52.6 53.6 37.7 31.8 22.9 43.3 32.5 36.6 34.6
C 11.4 40.8 14.7 20.4 15.3 13.4 4.0 20.1 59.6 7.4 34.6 错30.8
D 3.0 4.3 2.6 12.8 2.7 30.9 1.6 1.4 4.8 12.0 0
初三年级问卷结果（单位：%）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A 35.1 16.2 29.7 18.9 21.6 24.3 83.8 21.6 0 24.3 51.4 对75.7
B 56.8 27.0 56.8 48.6 54.1 32.4 16.2 46.0 48.7 40.5 5.4
C 5.4 56.8 13.5 8.1 24.3 8.1 0 29.7 45.9 21.7 29.7 错24.3
D 2.7 0 0 35.1 0 45.9 0 2.7 5.4 13.5 13.5
全校问卷结果（单位：%）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A 45.4 21.5 30.9 14.7 41.3 36.0 71.6 38.1 2.1 40.7 对55.2 对66.0
B 45.3 33.9 49.5 53.7 40.4 28.4 25.1 37.9 33.2 35.1
C 6.4 42.9 14.9 16.1 15.5 12.4 2.4 21.3 59.5 11.7 错44.8 错34.0
D 2.9 1.7 4.7 21.0 2.8 35.1 0.9 2.7 5.2 12.5
从调查问卷的统计结果可以看出以下问题：
20%以上的学生不论怎样简单的计算题都用计算器，可想而知这些学生将丧失计算能力和数感。
近60%的学生计算能力比较低或很低，这些人尽管手里掌握着计算器，但还是经常出错。
只有15%的学生能经常想到用计算器探索规律。
随着年级升高，记不住计算器功能的学生逐渐增多。
从问卷第6题可以看出，学生不清楚什么是不合理使用计算器的做法，选择D的只有35.1%。
有近62%的学生认为不合理使用计算器的人在50%以上。
从11题可以看出，近一半人离开计算器就不会计算，在初二、初三中，只有6.8%的人会用最简便的方法。
从12题看，会用计算器进行无理数运算的人随着年级升高而增多，但是还是有34%的人不会用。
四、怎样正确引导学生合理使用计算器
计算器要不要进入数学课堂教学？答案显然是肯定的，问题是怎样合理使用。既不能放任自流，也不能简单禁止，而是要正确引导，首先教师自己要明确什么叫做合理使用计算器，其次应鼓励学生用计算器进行探索规律、估算和检验。
1、在双基教学时，应该禁止学生使用计算器
例如有理数的运算教学，这是掌握运算法则、培养运算能力、锻炼数感的最佳时机。如果学生一味地用计算器进行运算，基本知识与基本技能的教学就难以落实，双基教学的目标就难以达到。只要对学生讲清道理，分析利弊，认识危害，学生一定会积极配合，自觉地收起计算器，为打好扎实的运算基础，而进行法则练习。
一天，一个学生的有理数计算作业中，只有答案而没有过程，我找这为同学谈话。
师：你的作业为何只有答案没过程？
生：我用计算器算的，当然没有过程。
师：这样的计算怎么可以用计算器？
生：计算器不是开放了吗，为何不能用？
师：长期这样的话，计算法则就不能掌握。
生：有了计算器，没有法则也无妨。
师：那你就有所不知了！以后我们还要进行字母的运算，没有法则，计算器也无能为力了。
生：这……
经过这次谈话后，该学生以后的作业都写出了计算过程。
2、复杂的计算应让学生使用计算器
曾经有位朋友要我为他孩子作数学辅导，我发现他在计算多位数除法时用笔算，我非常诧异，问道：为何不用计算器？答曰：老师不让用，谁用了就缴谁的计算器。后来经了解，这所中学的数学老师都对学生提出了同样的要求。
3、简单的计算鼓励学生摆脱计算器
例如计算39÷3，15-8，，等，如果学生经常用计算器来计算的话，无疑会使计算能力下降、速度减慢。
我在课堂教学时，经常利用各种机会对学生进行合理使用计算器的教育，要求学生多进行口算，经常传授一些简便运算的技巧。我班学生中有28%的人口算能力较强，77%的人简单的计算摆脱了计算器。
4、鼓励学生灵活使用计算器
许多学生只知道用计算器做计算题，其实探求规律、检验、估算等都可以用到计算器，再举一例。
化简的结果是（    ）
A、　　B、　 C、　 D、
分析：只要用计算器求出原式的近似值，再用计算器检验四个选项中哪个是正确的。
目前，学生所用的计算器，还有许多没有准确计算无理数的功能，上述方法适用范围就比较广泛。但是，仍有许多人想不到这样做，只能说没有让计算器物尽其用。
5、教师命题时要考虑到计算器的作用
上面已经提到过这个问题，这里略讲了。
6、教师要关注学生使用计算器的情况
在课堂教学时，是关注学生使用计算器的情况的最佳时候。不该用计算器的时候，数一数有几人用了；该用计算器的时候，数一数有几人没用。
批改作业时也应该关注学生使用计算器的情况，因为作业中可以看出哪些学生很依赖计算器，哪些学生能灵活使用计算器，还有哪些学生该用的时候没用。
学生是否合理使用计算器往往取决于教师的关注程度。当初一新生得知作业、考试都能用计算器，他们几乎到了欣喜若狂的地步，教师就应及早正确引导，坚持不懈地加以关注，相信一定会受到显著的成效。

附录
学生使用计算器情况调查问卷
为了了解学生使用计算器的情况，使计算器发挥更好的作用，使数学教师掌握第一手资料，有利于教育学生合理使用计算器，特进行本次问卷调查。下面的选择题，你可以选择多项，也可以选择单项。
1、在数学课堂教学、课外作业、实践活动以及考试中，允许学生使用计算器，我们还鼓励学生用计算器进行探索规律等活动。这在小学是没有的，是数学教学的革命！你对这件事情的看法是（    ）
A、这是一件非常好的事情，减轻了我们的学习负担，早就应该这样做了
B、虽然放开使用计算器是好事，但是会削弱计算能力
C、放开使用计算器不是好事，会带来许多弊端
D、没什么看法
2、你使用计算器进行计算的情况是（    ）
A、反正计算器开放了，我喜欢怎么用就怎么用，很简单的计算题我也用计算器（例如：-22+13，，36÷9等）
B、计算器只是用来做计算题，较为简单的计算（如上面几道计算题）我不用计算器
C、计算器不只是用来做计算题，还用来检验、估算、探索规律
D、我不喜欢使用计算器
3、你使用计算器探索规律的情况    （    ）
A、我常常想不到用计算器可以探索规律    B、我偶尔想到用计算器探索规律
C、我经常想到用计算器探索规律          D、无可奉告
4、你使用计算器遇到过什么麻烦    （    ）
A、没带计算器时候，我非借一个不可，否则我就不会计算
B、我有时按错键，还不知道自己错了
C、我经常将按键的顺序搞错
D、计算器的功能太多了，记不住
5、你现在的计算能力是            （    ）
A、并没有因为计算器而影响我的计算能力
B、计算能力比较低
C、计算能力非常低，没有计算器就经常出错
D、我没有什么计算能力，有没有计算器对我来说是一样的
6、你认为不合理使用计算器的做法是（    ）
A、简单的、可以简便运算的计算应该摆脱计算器
B、应该常用计算器来检验我们的答案对不对
C、应该多用计算器探索规律
D、简单的运算要摆脱计算器，像分数运算、无理数运算就应该用计算器算，否则会出错
7、你的数学老师是不是教育你们合理使用计算器                              （    ）
A、非常强调，经常教育   B、不是很强调
C、从来不教育   D、禁止我们使用计算器
8、无论什么计算都用计算器、应该用计算器的时候却想不到去用，这就是不合理使用计数器。你认为在你的同学中，不合理使用计算器的人数占全班的              （    ）
A、50%以下      B、50%到70%
C、70%到90%    D、90%到100%
9、有人说：“反正能用计算器了，运算能力的高低就无所谓了”。你认为这种说法是（    ）
A、很有道理的    B、有点道理
C、毫无道理      D、不知道有无道理
10、如果今后生产出能解方程、能化简代数式、能求函数关系式、能证明几何题的计算器，你认为这是一件              （    ）
A、很好的事情    B、不是很好的事情    C、很不好的事情    D、不知道
11、不用计算器计算：（写出过程）

12、用计算器计算：（－）×（）=