新课标下竞赛题转化策略浅析 数学竞赛就是以各个知识点为基础,对已有的问题或变形,或删减条件,或本末倒置,或重新整合,或另辟新路,使数学问题显得既熟悉又陌生,好象有路又好象没路。直到你走完了才恍然大悟,不得不为出题者的构思所折服。它是源于生活高于生活,始于基础知识又高于基础知识,一句话就是要活学活用各种数学思想方法,为达目的誓不罢休。 数学思想方法是数学知识更高层次上的抽象与概括,它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中,迁移并作用于相关学科和社会生活,而转化思想是数学思想方法的核心,从广义上讲,数学解题的过程就是恰当地运用已知条件将问题逐步转化,从而获得解决的过程。 在数学考试竞赛中,我们会碰到各种类型的题目。 比如实际应用问题,可转化为数学模型(代数模型、几何模型)。 常见的数学模型及相关问题归类如下: 模型 相关内容 方程 工程、行程、质量分数、增长率(降低率)、利息、存货、调配、面积等 函数 方案优化、风险估算、成本最低、利润最大、几何动态 不等式、统计、概率 最佳设计、租金预算、合理调配、人口、环保、设资估算 解直角三角形 测高量距、航海、气象、图形设计、土地测量、堤坝、屋架计算 线性规划初步 产品成本、销售盈亏、投资获利、城市规划、产业预估,利润分配生产方案设计 再比如目前十分流行的几何动态问题(动点,动直线,动图形),可以用动与静的辩证关系,最终把动态问题转化为特定条件下的静态计算问题。 在具体解题过程中,当然会用到一些具体的转化策略: 复杂问题一般化,突显本原 G·波利亚在《怎样解题》中指出:“更普遍的问题可能更易于求解。” 例1 =( ) 分析:此题由于省略号的出现,使计算繁琐,而且没有明确显示根号内是2减多少。但有一点可以肯定,这是一个循环运算。考查 X=0.9① 10X=9.9② ②—①9X=9 X=1 可以借助这个办法。 解:设X=① 则有X2=2—② ②+①得 X2+X=2 X=1或X= —2
X=1 即 原式=1 退一步,海阔天空 有些问题,有些时候,局部情况相当复杂,如果盲目进入局部探索、往往会陷入云里雾中。此时,如果能退一步,从整体上把握方向,常会找到问题的简明解法。 例2 1024名乒乓球选手,用淘汰制争夺单打冠军。问:应进行多少场比赛?为什么? 解法1因每两人比赛一场,第一轮要比赛场,第二轮要比赛场,第3,4,5,6,7,8,9轮分别要比赛,,,,场,第10轮比赛场,最终决出冠军。 可见,共应比赛 +++++++++=512+256+128+64+32+16+8+4+2+1=1023(场) 解法2 从整体思想考虑,即从淘汰制看,每场比赛总要淘汰一名选手,现在1024名选手中要决出冠军,需淘汰1023名选手,因此需要进行1023场比赛。 上面两种解法比较,显然,解法2简洁明快,美不胜收。从中可以品到应用整体思想解题的特点。 数形结合,互相转化 “数”与“形”是数学中两个最基本的研究对象。形中有数,数中有形,两者结合,威力无比。正如华罗庚教授指出的那样:“数无形,少直观;形无数,难入微”,我们应仔细挖掘题目中数与形的结合点,通过数形结合,化难为易。 例3.|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值是_______.(第十三届江苏省初中数学竞赛试题) 分析:设数轴上的点A、B、C对应的数依次为-1,2,3。那么问题的实质就是在数轴上找一点表示数x的点x,使点x到点A、B、C之间的距离之和为最小。显然,当点x 与点B重合时,距离之和最小,它等于A、C两点距离,若点x不与点B重合,例如在A、B间某一位置,(如图)则距离之和等于xA+xB+xC=AC+ xB> AC, 于是,本题答案为当x=2时取得最小值为4。 一般问题,特殊化 由于特殊问题比较简单,而特殊问题的解决常常孕育着一般问题的解决,华罗庚教授讲:“这是一般的研究方法,先足够地退到我们容易看清问题的地方去,看透了,钻深了,然后再上去。” 例4、设(2x-1)5=ax5+ ax4+ax3+ ax2+ ax+a (1) a+ a+ a+a+ a+ a (2)a- a+ a-a+ a- a (3)a+ a+ a的值。 解(1)令x=1即得 a+ a+ a+a+ a+ a=1。 令x=-1即得 a- a+ a-a+ a- a=-243 (3)由上述解得: a+ a+ a=(1—243)=-121 反戈一击,立竿见影 反证法是间接证法中的一种,在解某个数学问题时,若感到条件“不足”或无从下手,不妨考虑使用反证法。反证法最大的优点是无形中多了一个或几个条件,从原结论的相反结论出发,再利用原有的一些已知条件,导出矛盾,从而达到否定假设,肯定原命题的目的。 例5要将29个数学竞赛的名额分配给10所学校,每校至少要分到一个名额。求证: 不管怎样分配,至少有3个学校得到的名额相同。 如果分到相同名额的学校小于4,则29名选手至少有5名来自同一学校。 解:(1)若没有3个学校得到相同的名额,由于每校至少一名,则最节约的方案是:2个学校各得1名;2个学校各得2名;2个学校各得3名;2个学校各得4名;2个学校各得5名。这样,最少要2(1+2+3+4+5)=30个名额,但只有29个名额,不够分配。 (2)若每个学校分得的名额都不超过4,则在分到相同名额的学校小于4的条件下,10校派出的选手不超1×1+3×2+3×3+3×4=28。 数学解题的成功需要大量的经验知识积累: 多跑阅览室,在课余可以坐一会,既可以放松也是可学习到许多其它老师的经验; 多跑书店,许多新的好书是我们需要收藏的,也可以推荐给学生; 多和同事交流,三个臭皮匠顶个诸葛亮,思维的撞击才能产生更多的火花; 多做精选的试题,多做变式训练,真正把学来的知识转化为自身的东西。 数学题就像是一间里面藏有珍宝而又被锁起来的屋子,而我们这些心灵手巧的工匠就站在屋子的前面……