“高斯算法”的探究性教学 内容摘要:本文内容主要探究高斯算法1+2+3+4+……+n=在具体题目中的作用,表现在数列方面和几何方面的探究。让学生学会有价值的数学,培养学生善于观察、探索、归纳等能力。 关键词:高斯算法 教学 探究 华东师大版七年级(上)P6的阅读材料上介绍了高斯关于1+2+3+4+……+100的算法,看了之后不少同学对高斯的发现非常佩服,很想自己也能有类似的发现。为此,我趁热打铁,专门安排了一堂课,组织学生对“高斯算法”进行挖掘、拓展、设计出了一个探究性的问题系列。让学生亲身体验探究数学问题带来的快乐! 探究1:(数与字母) ①数列2、4、6、8、10……第n项(n为正整数)是______,其和是______; ②数列1、6、11、16、21……第n项(n为正整数)是___,其和是___; ③数列2、3、5、8、12……第n项(n为正整数)是______,其和是______; 对于数列①,同学们不难发现这些数都是偶数,一切偶数总可以表示成2n的形式,所以第n项就是2n。关于其和的问题,给同学们几分钟时间后,就有同学发现:其和用S表示 则:S=2×1+2×2+2×3+2×4+……+2×n=2(1+2+3+4+……+n) =2(n+1)·=n(n+1)=n2+n 这位同学说得多好啊!是否还有其它算法吗?学生就沉入思考。过了一段时间,虽然学生想不出其它好的算法,我略作提示:此数列的和是从小到大的,能否从大到小的排列,比较并加以思考。在我的提示下,有同学发现,回答: S=2+4+6+8+……+(2n-2)+2n S=2n+(2n-2)+……8+6+4+2 则: 2S=(2+2n)+(4+2n-2)+……+(2n+2) =(2+2n)·n 所以: S=·n=(1+n)·n=(1+n)·n=n2+n 这位同学的回答着实让我兴奋。接着就问奇数列1、3、5、7、9……呢?不到一分钟时间,同学们的答案就有了,第n项为2n-1,其和S=n2。 趁着同学们探究兴趣的来临,我就提出了数列②。经过分组讨论后,发现相邻前后都相差5,故可以把此数列表示成:1,1+5×1,1+5×2,1+5×3,……1+5(n-1),这时第n项就是1+5(n-1)=5n-4,则其和S为: S=(5×1-4)+(5×2-4)+(5×3 – 4)+……+(5×n-4) =5(1+2+3+4+……+n)-4n =5··n-4n = 题目在逐渐地加难,同学们探究的激情丝毫未减,我继续为其加油:“只要努力,高山也会变成滩途,数学会带给我们无限的乐趣。”这时我就鼓励他们继续观察数列③的特征。你们又能发现什么呢?实质上只不过后前相邻数依次多1的变化,于是我就对数据进行剖析: 2=2,3=2+1,5=2+1+2,8=2+1+2+3,12=2+1+2+3+4,……这样一提示,同学们就领悟到了数列的特征!那么第n项该怎样表示呢?就有同学举手发言:第n项应该是: 2+1+2+3+4+……+(n-1)=2+[1+(n-1)]·= 2+- 我又问:2008年我国将举办奥运会,若n=2008时,这一项又是什么数据呢?这时同学们的计算器劈劈啪啪响个不停,答案一下子就出来了:2015030,那么其和呢?求和有一定的难度,解答如下: S=(2+-)+(2+-)+(2+-)+……+(2+-) =2n+(+++……+)-(1+2+3+……+n) =2n+·-· = 探究2:(数与几何) 例1,已知:∠AOB内有n条射线OP1,OP2,OP3……这些射线连同OA、OB两条射线在内,能把∠AOB分成几个角(用字母P表示)。 分析:这个问题用一个一个地数看是很难完成的,而且容易重复或遗漏,所以我的处理方式是: ①让同学自立画图实验,得到图1,图2,图3,图4,引导学生数出前四个图的角的总数P
图1 图2 图3 图4 n=1时 n=2时 n=3时 n=4时 P=3 P=6 P=10 P=15 ②让同学猜想n=5、6、7……,P是多少,实质就是探究数列3、6、10、15…… ③启发同学对上数列有何认识?是否类似于探究1中的③问题呢?让同学们合作,剖析数列就不难发现: 当n=1时 3=1+2 当n=2时 6=1+2+3 当n=3时 10=1+2+3+4 当n=4时 15=1+2+3+4+5 …… 当有n条射线时,角的总数P=1+2+3+4+……+(n+1)= 例2:如图(5)是用小棒摆出的一系列三角形图案,按这种方式摆下去: A、当每边摆10(即n=10)时,则共有多少个最小的三角形。 B、当第n个图案时,则共有多少个最小的三角形(用S表示)
如图(5) 仔细数一数,再观察其图形从上到下一个一个地数三角形,就会发现其规律: 当n=1时 S=1 当n=2时 S=4=1+3 当n=3时 S=9=1+3+5 哈哈,这不就是奇数数列吗? 所以,A、当n=10时,S=1+3+5+7=……+19=102=100 B、当n=n时,S=n2 进一步思考:A中需要的小棒总数为多少根? B中需要的小棒总数S与n的关系式又是什么? 此时,同学们好像发现了规律似的: 当n=1时 S=3 当n=2时 S=9 当n=3时 S=18 当n=4时 S=30 有人举手,这就是探究数列:3、9、18、30……。此数列是3的倍数,即3×1,3×3,3×6,3×10……这样第n项的数据也就清楚了。也有人说:受原题的影响,小棒与数三角形个数有密切关系: 当n=1时 相当于1个三角形 当n=2时 相当于(1+2)个三角形 当n=3时 相当于(1+2+3)个三角形 …… 当n=n时,相当于(1+2+3+……+n)个三角形 所以,S=(1+2+3+……+n)×3=×3= 随着上面问题的解决,我继续举出以下习题以巩固本堂课所学内容。 ①有一种放铅笔的V型槽,第一层放1支,第二层放2支,依次增加一支…… 问:A、第100层共放铅笔________支 B、第n层时共放铅笔_________支 ②有一次晚会有50人参加,每两人握一次手,共有多少次握手?有n人呢?若互相之间还要互赠贺卡,则n人会议共需多少张贺卡? 通过以上问题的设计,不仅让同学们感受到数学的应用价值,而且让同学们体验到用数学知识解决实际问题后带来的无穷乐趣,从而激发同学们对学习数学的兴趣和求知欲,真正做到人人学有价值的数学,使同学们探究问题时有热情感、方向感和成功感。当然,作为教师在设计问题时应具有由易到难,层层深入,符合同学们的认知规律,并采用自立、合作、引导动手实践等探究方式,有目的地去调动同学们的学习积极性,培养同学们的思维发散性、灵活性、流畅性和开放性等思维品质,同时培养同学们的创新精神。在认知中探究,在探究中进步,真正体验到探究数学问题带来的快乐。 参考文献: 1、《义务教学课程标准实验教科书》华师大2003年版 2、金海强《在变化中探究,在探究中发展》,《中小学数学》全国数学教研第十三届年会论文集(中学)2006.8 3、《数学课程标准》(实验稿)中国教育部制定,XXX版.