几何解题如何选择思维起点 乐昌新时代学校 袁青 [摘要] 几何解题的系统结构是问题条件→知识和方法→问题目标,解题过程是根据问题条件,利用有关的
知识和方法,进行有计划、有目的、有步骤的逻辑推理活动,要顺利完成这一活动,首要的是选择合理的 思维起点。 [关键词] 思维起点 目标的特征 等量关系 临界位置 一、从题目的条件中寻找思维起点 例 1 如图 1,在△ABC 中,∠B=900,O 是 AB 上一点,以 O 为圆点,OB 为半径的圆与 AB 交于点 E,与 AC 切
于点 D。又已知 AD=2,AE=1,求 CD 的长。 分析:由题设条件,∠B=90,AC 与圆相切于 D 点,已知长度的线段 AD 和 AE 既是 Rt△ABC 中斜边和一条直角边的一部分,也是圆 O 的切割线的一部分, 所以条件中就蕴伏了连接 OD 构造两个相似的直角三角形的思维起点,一旦连 接 OD,解证的思路便会顺利展开。 二、分析问题目标的特征选择思维起点 例2 Rt△ABC 中有正方形 DEFG,点 D、G 分别在 AB、AC 上,EF 在斜 边 BC 上,求证:EF2=BE·FC。 分析:题目本身已经给出了证明的目标,考察这一目标的特征不发现: 若结论成立,那么 EF/BE=FC/EF,而 DE=EF=FC,于是就不难想到 Rt△BED ∽Rt△GFC 三、从已知命题的结论和解法选择思维起点 B 例3 如图 3,△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,F 是 AD 上的点,且 FC=5AF, 连 BF 并延长交 AC 于 E,求证:EC=10AE。 分析 题目中 AD 是中线,而 BE 是把 AD 分成 1:5 的一条直线,若囿于 此比值,便给思维带来很大束缚,如果索性把 BE 当作一条动线,它可以 在形内,也可以形外,当然也包括是 AC 边上的中线,就不难想到三角形 B 的重心把中线分成 1:2 的两条线段的续集和证法,必定想到作 CF’//BF 交 FD 的延长线于 F’,利用相似三角形的性质不难证得结果,可见已知 命题的结论和证法对思维起点的选择是何等的重要。 四、抓等量关系选择思维起点
例 4 如图 4,延长圆的内接四边形 ABCD 的两组对边,它们分别相交于 M、N。求证:所成的∠AMD 和∠ANB 的平分线互相垂直。 分析:观察图形,HM 是∠AMD 的角平分线,如果能证∠1=∠2,则就证得 MH⊥EN, 考虑到∠1 是△GNC 的外角,∠2 是△EAN 的外角,∠ANE=∠GNC,这样就可利用① 三角形的外角等于不相邻的两内角和,②圆的内接四边形任一外角等于不相邻的 内角,这两项等量关系,列出三条方程,而顺利找到 MH⊥EN 的充分条件。 五、还原问题的图形选择思维起点 思维起点的选择是建立在分析的基础上的,当分析几何问题的终态图形发生 障碍时,不妨利用恰当的方式还原出问题的初态情景------图形,从中找到思维 起点,我们在计算圆锥形的侧面积时,就是利用这种方法把终态立体图形还原成 初态的平面扇形,使问题从复杂变得简单的。 选择思维起点的方法除上面谈到五种外,还有通过合理的假设,图形等效转 化等方法,由于问题的千差万别,因此解题思维起点的选择就没有一个固定的模式,即使同一个问题,也 存在着几种思维方法,但无论通过哪种思维方法获得解题途径,思维起点的选择很重要,选择不同的思维 起点,解题过程的复杂程度和解题速度不一样,俗话“良好的开端是成功的一半”,只有选择好的思维起点, 解题才能获得快速成功。