【论文摘要】 本文对高中数学教材的一道习题的解答质疑,提出自己的修改建议,从而体现数学思维的
严密性与现实生活的紧密联系,在教学的过程中培养学生敢于质疑大胆创新的精神。
【关 键 词】 逻辑性、严密性、连续、间断、人文科学
普通高中课程标准实验教科书数学必修①(广东教材 2004 年 5 月第一版,2005 年 7 月第四次印刷)
中有这样一道题,就是 P120 习题 3.2A 组第三题:
某人开汽车以 60km/h 的速率从 A 地到 150km 远处的 B 地,在 B 地停留 1h 后,再以 50km/h 的速率返回
A 地。把汽车与 A 地的距离 x km 表示为时间 t h(从 A 地出发开始)的函数,并画出函数的图象;再把车
速 v km/h 表示为时间 t h 的函数,并画出函数的图象。
教师教学用书 P98 是这样给出的答案
在数学上,我们知道函数是“两个非空数集间的一种确定的对应关系”。即:一般地我们有:设 A,B
是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有惟一确定
的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y=f(x),x∈A。A 叫做
函数的定义域。由这个定义来看,该两个函数都是分段函数,他们的定义域均为[0,6.5],。“转折点”为
t=2.5 与 t=3.5。对于本题第一问,由于在两个转折点处函数的图象是连续的...,t=2.5h 与 t=3.5h 均可以作
为前一个过程的结束时刻,也可以作为下一个过程的开始时刻,函数在这两点处的取值对于第一问的解答
是没有影响的,而且也与实际情况相吻合。但是,对于第二问来说,因为函数 v(t)在 t=2.5 与 t=3.5 两
点是间断的...,从函数定义的角度来看,速率函数在 t=2.5 与 t=3.5 的取值只能有惟一的一个值,到底是 60、
0 还是 50?那么这个看似很简单的解答,我认为它是自相矛盾的。
由第一、三两段函数可知,作者近似的认为汽车从 A 地出发(t=0)以及到达 B 地(t=2.5h)时速度均
为 v=60km/h;汽车最后返回 A 地(t=6.5h)时,v=50km/h。但是不知道大家注意到了没有,汽车从 A 地出
发(t=0)与汽车从 B 地返回的开始时刻(t=3.5h)显然是完全相同的状态,赋值也应该是一样的方法,按
照作者的思维逻辑,我们应该认为 t=3.5h 时,v=50km/h。可是由函数解析式第二段可知 t=3.5h 时,v=0
(但我不否认此时刻认为 v=0 是正确的),但是,由函数的定义可知,函数在 t=3.5 时函数值只能有惟一的
一个,那么此时 v 到底是 0 还是 50?因为汽车从 A 地出发(t=0),到达 B 地(t=2.5h),从 B 地返回的开
始时刻(t=3.5h)以及到达 A 地停车(t=6.5h)的速度均为 0,汽车在行驶的过程中速度不为 0,得到的数
学结果才更符合实际,更容易被学生接受。
我觉得教学参考书的这个解答很让人费解。所以,这一问题的答案应该改成这样的形式更合乎逻辑: