从集合论的观点看中学数学中的概念和问题

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从集合论的观点看中学数学中的概念和问题
【摘 要】：集合论是中学数学，乃至整个数学的理论基础．其他数学概念，诸如整数、有理数、实数、几何图形、函数、代数、运算、微积分等，都可以用集合论的理论、方法和语言加以表述。
【关键词】：集合论的理论与方法   表述 中学代数 几何
 19世纪70年代Cantor创立的集合论，虽然在上世纪末已被数学家广泛接受，并用它作为构筑整个数学大厦的基础，但是它本身却是用说明的方式建立的，未被严格理论化，因此被后人称为“朴素”的集合论．尽管如此，在我们中学数学教科书或一般高等数学(非数学基础学科)书中所讲、所用的集合论知识，正是这种朴素的集合论。
  从集合论的观点来看，中学代数主要研究数集的扩张、运算和变换。解方程(或不等式)f(x)= 0(≥0)，就是要求得与由命题形式给出的集合｛x|f(x)=0(≥0)｝相等的具体数集(指明它的元素是哪些数)。解n元方程组，则是要求得笛卡儿积Rn的一个具体子集，使等于由命题给出的集合。
中学几何，则主要研究作为平面和空间点集的几何图形。几何图形的性质，可以归结为相应点集之间关系的研究。几何图形的运动和变换，可以从相应集合的运算来考察。通过建立坐标系，把解方程与求曲线交点这两类问题对应起来，沟通了点集与有序数组之间的联系，把点集与数(对)集统一起来。
不少数学证明题可以归结为：由前提和结论所确定的两个集合相等或包含关系的判定。集合论为求解和证明数学题提供了简明的表达方式。
 下面结合实例来说明以上观点。
 1. 从集合论的高度概括中学数学内容，便于从整体上把握中学数学的研究对象。
 中学数学的研究对象是在通常的数集 ( N、z 、Q、R、C) 和通常的空间( R1 、R2 、R0 ) 中研究数、式、形，包括数和式的运算和变形， 方程和不等式的解，函数的图象和性质， 几何图形的结构和变换， 形与数之间的对应关系， 等等。它们可以在集合论的观点下联系和统一起来， 并归结到某一种集合或几种集合间的某些关系当中去研究， 例如：
 方程的解集； 
 不等式的解集； 
 R1 、R0 或R3 中满足一定条件的点集( 图形、曲线) ； 
 运算、函数、序是集合上的某种关系； 
 几何元素间的各种结合关系、平行与垂直是集合间的某种关系； 
 从自然数集到整数集→有理数集→实数集的扩充过程都可通过对前一个集按集合的某种等价关系分类而得。
 平面几何中图形的平移、旋转、反射、 相似等几何变换都是R2 中集合间满足一定条件的对应关系。
 2.用集合论的语言表述有关概念更为简洁。
中学平面几何和立体几何中一些基本几何图形，如线段、圆、球等，都是作为一个整体图形来看的．从它们传统的定义中，很难明确指出它们的各个部分究竟是什么，以致一些中学生分不清线段AB和它的长度|AB| ，圆与圆周，球和球面等。如果用集合论的方法和语言来表述这些图形，把它们看作是满足某些条件的点的集合。就会弄清楚这些图形究竟包括哪些点。
例如，平面图形中以O点为圆心、以r 为半径的圆，是集合
⊙(O，r)＝ ｛P｜｜ OP｜≤r｝
而这个圆的圆周是集合｛P｜｜OP｜=r｝。
 这样，就把圆和圆周这两个概念严格区分开来了。
 线段AB，可表示为点集
AB＝｛M||AM＋|MB|=|AB|｝
角∠AOB，可视为由从点O出发的两条射线OA、OB，以及平面被它们划分开的两部分之一的所有点构成的集合。如下图，(a)与(b)中的两个角，虽然它们的顶点和边相同，但却是完全不同的角。