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一些中学不等式解法的思考
[摘要] 不等式是中学数学的重点、难点、也是中考、高考的热点之一，学生对这类题目常常难以驾驭。因此，有必要研究其思维的策略。
[关键词] 不等式 定义域 参数 不等式在中学数学中有着重要的地位，学生在解不等式的有关问题时，往往在理解知识、掌握技能和方法方面存在一些问题，下面就一些不等式的解法进行思考。 一、关于含参数不等式解法的思考。 1、先考虑定义域再变形 例1、已知a>0，a≠1,解不等式loga(4＋3x－x2)－loga(2x-1)> loga2 (1990年全国文科试题) 解：不等式的定义域是 原不等式可变形为loga(4＋3x－x2) > loga2 (2x-1) 当a>1时，不等式等价于 解之得解集为｛x/ <x<2｝ 当0<a<1时，不等式等价于 解之，得解集为｛x/2<x<4｝ ∴当a>1时，原不等式的解集是｛x/ <x<2｝ 当0<a<1时，原不等式的解集是｛x/2<x<4｝ 此题如先变形成loga > loga2，再考虑定义域，则当a>1，0<a<1时，分别得等价组 （I） （II） 其中（I）的解集是｛x/ <x<2或x<-3｝ （II）的解集是{x/2<x<4或－3<x<－1}， 这是错误的，原因是把未知数的取值范围扩大了，由 >0 不仅得出： 4+3x－x2＞0 4+3x－x2＜0 ； 还能得出： ，而后者是不适合的。 2x－1＞0 2x－1＜0 2、掌握依据、恰当分类 解参数不等式的关键是对参数进行分类讨论。掌握分类的依据，可使解题有章可循，有法可依。 例2、解不等式56x2＋ax－a2<0 (初等数学研究的282页例题) 分析：△＝a2－4×56×(－a2)=225a2≧0,方程56x2＋ax－a2＝0有两实根： －和，其两根大小不确定，故应分a>0，a<0，a=0三种情况分类讨论得解，即： (1)若a>0，则不等式的解集为{x/－<x<} (1)若a<0，则不等式的解集为{ x / <x<－ } (1)若a=0，则不等式无解。 如果问题含有两个或两个以上参数时，须根据讨论标准逐层分类讨论。 例３、解关于x的不等式ax >k·3x (a >0,且a≠1) 分析：化不等式为( )x >k，显然有( )x >0，对应k，a的不同范围依次进行讨论。 (１)若k≤0时，解为一切实数。 (２)若k＞0时，若a＞3时，解为x＞log k 若0＜a＜3时，解为x＜log k，若a＝3时，原式化为１x >k 当0＜k＜１时，解为一切实数。 当k≥1时，解为空集。 3、优化程序，减少讨论的层次。 优化解题程序或方法，常常可减少讨论层次，使解题化繁为简。 例４、解关于x的不等式：＞3－logax 分析：如果先对无理不等式讨论得到logax的范围，再对a进行讨论，过程较繁琐，而改变操作方法，往往可减少讨论的层次，使解题简洁明快。 解：化原不等式为（ ＋２）（ －1），很明显 +2＞０，由 －1＞０得logax＞2，故： (1)a＞1时，解为x＞a2 (2)0＜a＜1时，解为0＜x＜a2 例５、解关于x的不等式 ＞x＋a 分析：本题若用纯代数方法分类讨论，头绪较多，难免挂一漏万，而以数形结合解之，则层次分明，直观易懂。 解：令y1＝ ，知y1≥０，则y１２ ＝4x－x2 y１２＋(x－2)２＝4 因为y１≥０所以y１２＋(x－2)２＝4表示的图象是以半径为２， 圆心在点(２，０)上的上半圆（如图所示），令y２＝x＋a，则y２ 表示斜率为１的任一直线（如图），直线过原点时，知a＝０，当 直线和上半圆相切时则有y１=y２且直线y２中的参数a>0, 即： =x＋a，经整理变形为：2x2+（2a－4）x+a2=0 ∵直线和上半圆相切，故判别式△=0
