三维重构技术在X光检测领域中的匹配和评估(三)

      (3.4)
 其中f(x)是重构后的体素值，x是实际体素值。系数1.127意味着用SMART-算法重构后的体素值平均是SART-算法的1.127倍。因此可以将公式3.2和3.3扩展，导出适合SMART-算法的标准化公式。
  .           (3.5)
             (3.6)
 图3.7中两条渐近线几乎完全重合，此外，根据这两种算法的原理，理论上他们的理想重构体素值是相等的，所以公式3.6也适用于MLEM-算法的标准化。
3.3  FDK-算法的标准化
 首先也是根据表格3.2中的数据，利用软件“MATLAB”，得到一条对应离散点的渐近线。
      

         图 3.8 渐近线-FDK

             (3.7)

 其中f(x)是重构后的体素值，x是实际体素值。FDK-算法属于分析法，也就是说所有X光的投影经过信号过滤之后一次性向重构体积做逆投影。所以大角度范围的圆形轨迹意味着要做更多的逆投影，当然重构体素值也会增加。因此重构体素值除了跟实际体素值有关，还跟圆形轨迹的角度有关。

     表格 3.6 不同角度的圆形轨迹的重构-FDK
体积精度: 64×64×64 Voxel  体积大小: 1,0×1,0×1,0 mm  实际体素值: 3,3
圆形轨迹 180°
(32 张投影) 270°
(48 张投影) 360°
(64 张投影)
xy-平面   
      

      图3.9 不同角度的圆形轨迹的重构值曲线-FDK

 从图3.9可以看出，重构体素值与圆形轨迹的角度范围成正比。X光投影的张数（pro_num）对应于圆形轨迹的角度。对公式3.7进行扩展：
          (3.8)
     
        图3.10 重构坐标系

 虽然重构体积每个体素的大小（重构精度）可以任意的定义，但是最佳体素的大小需要通过图3.10的坐标系计算得到。
         (3.9)
 其中a是最佳体素大小，b是接收器像素大小，FOD是射线源到重构体积中心的垂直距离，FDD是射线源到接收器中心的垂直距离。与SART，SMART 和MLEM相比，他们的重构体素值跟当前重构体积中的体素大小(length/lengthvox)成正比，而FDK是与最佳体素大小（a）成正比。
再次扩展公式3.8：
    (3.10)
 f(x)对应于重构体素值（vj），x对应于实际体素值（pha）。FDK-算法的标准化公式为：
      (3.11)
3.4  总结
      表格 3.7 重构体素值标准化公式总结
SART 
SMART 
MLEM 
FDK 
vj
pha
length
lengthvox
pro_num
FOD
FDD = 被检测物体的重构体素值
= 被检测物体的实际体素值
= 重构体积的棱长
= 棱长上体素个数
=  X光投影的张数
= 射线源到重构体积中心的垂直距离
= 射线源到接收器中心的垂直距离
     
 值得一提的是，表格3.7中的标准化公式不仅适用于正方体的重构体积，同样也适用于长方体。因为SART，SMART和MLEM的标准化公式与定义的重构体积的棱长无关，而是取决于重构体积的精度。一旦定义好一个重构体积，其精度就唯一确定了。FDK的标准化公式本来就与定义的重构体积无关，当然也适用于长方体的重构体积。

 图3.11描绘的是重构体素值进行标准化后的结果，其中圆形轨迹的角度为360°,重构发生在64×64×64 Voxel und 1,0×1,0×1,0 mm 的体积内。标准化后四种算法的重构体素值大约等于3.3。

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