自然界中处于同一环境中的两个种群相互依存的现象是很普遍的, 本文从种群的增长规律出发, 建立模型分析了可以独立生存, 共处时又能相互提供食物的两个种群在同一环境中的发展规律. 该模型为了描述两种群之间的促进作用引入参数, 在Logistic模型的基础上进行了修改, 通过微分方程组描述了两种群数量的变化规律. 本文通过对微分方程组稳定点的分析, 求出了在共处的条件下两种群不会同时都对对方有很大的促进作用. 文章最后对所有结束进行了详细的分析, 描述了各种情况的实际意义. 在合理的假设下, 说明了该模型与实际情况基本相符.
问题重述 模型假设 种群1和种群2在同一环境中可以相互提供食物, 但两种群都能独立存在. 种群数量随时间的变化视为连续的. 不考虑其它种群对种群1和2生存的影响. 假设种群1和2生活在一个稳定的环境中,即其固有增长率与时间无关. 资源有限的生存环境对种群的繁衍,生长有抑制作用,而且这一作用与种群的数量成正比. 符号说明 种群在时刻的数量 种群的固有增长率 种群单独存在时的最大容量 模型建立 设种群1可以独立存在, 按Logistic规律增长. 种群2为种群1提供食物, 有利于种群1的增长, 于是种群1的增长规律可以表述为: 参数 , 表征种群2对种群1的增长的促进作用. 同样通过修改Logistic模型, 引入参数表征种群1对种群2增长的促进作用, 种群2的增长规律可以表述为: 与式一起构成相互依存下的数学模型:
模型求解 容易求得方程的平衡点为: , , ,
将式化为一阶近似线性系统: 判断各平衡点的稳定性: : , , 特征方程为, 两特征根同号且都大于0, 固不是稳定点. : 易求得特征根为: , 两特征根异号, 故不是稳定点. : 两特征根为: , 异号, 固其不是稳定点. :
令, 要使此平衡点有意义, 需满足条件, 当满足时, A的特征方程为:
易求得以上方程 且其两根 , .
是稳定点(在条件下) 模型求解 求得模型有一个稳定点 , 当时, 为, 这时实际上是只有种群1为种群2提供食物, 促进其生长, 而种群2对种群1则没有促进作用. 显然此时种群1的极大容量与其单独存在时一样为. 而由于种群1对种群2的增长的促进作用, 种群2的极大容量将增长为 . 同理当时, 模型意义与此相同. 当时, 为, 即种群1和种群2相互之间没有促进作用, 此时相当于种群1和2独立生存, 各自达到其最大容量和. 当和都不为0时, 为 , , , 即由于相互对对方增长的促进作用, 使两种群的最大容量都大于各自单独存在时的容量. 令 则. ∴递增, 即对于种群1的极大容量, 它是随着的增大而递增的. 其实际意义也很明显, 种群2对种群1增长的促进作用越大, 种群1所能达到的最大数量就越大. 同样, 对于种群2来说, 种群1的促进作用也有类似的效果, 这是符合实际的. 要使稳定点有意义, 必须满足条件: , 这表明在这个模型中, 不会存在种群1对种群2和种群2对种群1的促进作用都很大的情况. 参考文献 <<数学建模的理论与实践>> 吴翊 吴孟达 成礼智 国防科技大学出版社
