“等效法”在物理中的应用举隅

“等效法”在物理中的应用举隅
等效替代法是物理学中常用的研究方法。比如：合力与分力的等效替代关系；用平均速度将变速直线运动等效变换为匀速直线运动；平抛、斜抛曲线运动等效为两个直线运动；用电流场等效替代静电场；交流电的有效值；等效单摆等等。
等效替代的实质是利用事物之间存在的等同性，将实际事物转换为等效的、简单的、易于研究的物理事物。就等效方法而言，等效法有三种：模型的等效、过程的等效、作用的等效。下面分别举例说明。
一、模型的等效
模型的等效是指用简单的、易于研究的物理模型代替复杂的物理客体，使问题简单化。
例1．如图1所示电路，R1为定值电阻，R2为可变电阻，E为电源电动势，r为电源内阻。则当R2的阻值为多少时，R2消耗的功率最大？
解析：电源内阻恒定不变时，电源的输出功率随外电阻的变化不是单调的，存在极值：当外电阻等于内阻时，电源的输出功率最大。在讨论R2的功率时，由于R2不是整个外阻，因此不能直接套用上述结论。但如果把电源与R1的串联等效成一个新电源，R2就是这个等效电源的外电阻，而等效电源的内阻为R1+r，如图2。很显然，当R2的阻值等于等效电源的内阻R1+r时，R2消耗的功率即等效电源的输出功率将达到最大。
例2．如图3所示，把轻质导线圈用绝缘细线悬挂在磁铁N极附近，磁铁的轴线穿过线圈的圆心且垂直于线圈平面。当线圈中通入如图所示的方向的电流时，判断导电线圈如何运动。
解析：本题中研究的是磁体对环形电流的作用，我们可以利用安培定则把环形电流等效为一个小磁针，如图4，从而把本题转换为我们所熟知的磁极与磁极之间的作用。由磁极间作用规律可推知，线圈将向磁铁靠近。
二、过程的等效
过程的等效是指用一种或几种简单的物理过程来替代复杂的物理过程，使物理过程得到简化。
例3．如图5所示，空间存在水平向右的匀强电场E，直角坐标系的y轴为竖直方向，在坐标原点O有一带正电量q的质点，初速度大小为v0，方向跟x轴成45°，所受电场力大小质点的重力相等。设质点质量为m，运动一段时间后它将到达x轴上的P点。求质点到达P点时的速度大小和方向。
解析：质点在重力和电场力的共同作用下作曲线运动。根据其受力特点，可将质点的曲线运动等效分解为竖直方向的竖直上抛运动和水平方向的匀加速直线运动。
则在竖直方向有：v0y = √2 v0 / 2
t = 2 v0y /g =√2 v0 / g
vPy = v0y = √2 v0 / 2
而在水平方向： a = Eq /m = g
vPx = v0x +a t = √2 v0 / 2 + √2 v0 = 3√2 v0/2
所以：        vP = √v0x2 + v0y2 = √5 v0
vP与x轴正方向的夹角为θ，则有：
              tan θ = vPy / vPx = 1/3
所以：       θ = arctan1/3
例4．边长为a的正方形导线框放在按空间均匀分布的磁场内静止不动，磁场的磁感应强度B的方向与导线框平面垂直，B的大小随时间按正弦规律变化，如图6所示。则导线框内感应电动势的最大值为多少？
解析：本题的常规思路是利用法拉第电磁感应定律E感=∆Φ/∆t,写出Φ的瞬时表达式，再把Φ对时间t进行求导。但在高中阶段的教学中，并未涉及这方面的知识，因此不少同学拿到此题后感觉无从下手。我们写出磁通量Φ的瞬时表达式：Φ = BS = B0a2sin(2πt / T )，可以发现，这种磁通量Φ的变化过程与线圈在磁场中饶垂直于磁场的轴匀速转动时磁通量Φ的变化过程相同，因此可以把本题所涉及的变化过程等效为：一个面积为a2的正方形线框在磁感应强度为B0的匀强磁场中饶垂直于磁场的轴以角速度ω=2π / T作匀速转动，线圈中将产生交流电，则感应电动势的最大值为：
Em=B0Sω= B0a2 ∙ 2π / T= 2πB0a2/T 。
三、作用的等效
作用的等效即是用一种简单的作用等效替代几种复杂的作用，从而使问题得到简化。
例5．如图7所示，一条长为L的细线，上端固定，下端拴一质量为m的带正电小球。将它置于一匀强电场中，电场强度大小为E，方向水平。已知当细线偏离竖直方向α（α≤45˚）角时，小球处于平衡状态。如果将细线偏角从α增大到θ，然后将小球由静止开始释放，则θ角应为多大才能使细线到达竖直位置时，小球的速度刚好为零？
解析：本题的原型是重力场中的单摆问题。现在小球不仅受到重力mg的作用，同时还受到电场力Eq的作用，若将这两个力合成为一个力——等效重力，容易判断出小球的平衡位置O点，如图7所示。小球若从A’点释放后，在A与A’之间的来回振动就是在等效重力场中的等幅振动。由单摆的知识可知：小球通过平衡位置O时速度最大，而在两振幅位置A与A’时速度为零。由单摆振动的对称性可知θ = 2α 。