补偿思维在中学物理解题中的常见用法
一般说来，中学物理中很多计算公式都是通过对一些理想的、完整的模型研究而推导出来的。但是，在中学物理的知识应用中往往会遇到一些实际的、残缺的模型，这些模型不便于直接运用公式进行分析计算。这类问题，从表面上看无从下手，或者由题设条件很难直接求解。但是，在与原题条件不相违背的前提下，如果适当地补偿一定的物理模型、物理装置，或者一定的物理过程、物理量等，补缺求整，补漏求全，往往可以使问题由“死”变“活”，由“繁”变“简”，从而促成问题的解决。这种思维方法称之为补偿思维。通过以下几个例题可以看出这种补偿思维在中学物理题中有着重要的应用。 一、补偿使实际问题模型化 通过补偿使实际物体向物体模型转化 物体模型是实际物体的抽象和概括，其特性通常为人们所熟悉，题目所给不是人们所熟悉的物体模型，可以考虑适当地补偿、转化，使实际物体转化为物体模型，以寻求解决问题的有效途径。 例1：半径为R的均匀球内切去一个半径为的小球后，质量为M，如图1已知两球内切，在两球心O1、O2的连线上距O1为2R处的质量为m的质点P受到的引力多大？ 分析：这是一个残缺的模型，球壳对P处质点的引力不能 直接应用万有引力定律求解，但是如果将切去的部分填补上去， 使其变成一个完整的均匀球体，一个均匀的球体与一个质点间的 引力即可应用万有引力定律直接计算。填补以后的球体对质点P的 引力是填补上去的球体与球壳对质点P的引力的合力，应用万有 引力定律和力的合成即可求解。 解答：将切去的部分填补上去，设完整球体对质点P的引力为F，球壳部分对质点P的引力为F1 ，填补上去的球体对质点P的引力为F2，则根据题意有 F=F1+F2 根据万有引力定律 F=G ，F2=G 又 M1= ×π（）3=代入F 、F2得 F= , F2= 又 F=F1+F2 ∴ F1=F﹣F2=﹣= 2、通过补偿使实际运动向运动模型转化 运动模型是实际运动的抽象与概括,其规律简单明了，当题目涉及到的运动形式难以求解时，适当补偿，可以将实际运动转化为运动模型以便于求解。 例2：一倾角α（α＜２°）的斜劈固定在水平地面上，高为h，光滑小球从斜劈顶点由静止开始下滑，到达底端Ｂ所用时间为t1，将通过Ａ、Ｂ两点的斜劈剜成一个圆弧面，使圆弧面在Ｂ点与底面相切，小球从Ａ沿圆弧运动到Ｂ，所用时间为t2 ，求t1与t2的比值。 分析：要求两种运动时间的比值需要求出两种运动的时间，光滑小 球从斜劈顶点由静止开始下滑，做匀加速直线运动，这是一个同学的熟悉 的运动模型，应用牛顿运动定律和运动学公式即可求解．但是把斜面剜成 圆弧面则不易求解．同学会感觉无从下手，无限分割，变曲为直，数学知识又跟不上，几乎无法求解．但是分析发现剜成圆弧面在Ｂ点与底面相切，以Ｂ点为中心，在其右侧补偿一个对称的圆弧面，小球的运动即变成了一个同学们都熟悉的简谐运动模型了，小球沿ＡＢ弧运动的时间为类单摆运 动周期的四分之一。 解答：如图２（α），小球斜劈顶点，由静止开始，做匀加速直线运动，其加速度a=g∙sina根据匀变速运动的位移公式 Ｓ＝at2 有 =at2= g∙sina∙t21 ∴ t1= 将图２（b）以Ｂ点为中心，在其右侧补偿一个与ＡＢ圆弧对称的ＢＣ圆弧如图３，设ＡＢＣ圆弧的对应半径为Ｒ分析小球受力可知在a<2°的情况下，有２a<4°，小球在ＡＢＣ圆弧上的运动可近看作简谐运动，且有小球运动的回复力Ｆ＝－∙x 周期为Ｔ＝２π,根据图示， 有L－h=2L∙cos2a ∴ L== ∴ T=2π t2=T=∙2π=∙ ∴ t1:t2＝∙ ∙=4: π 二、补偿使复杂问题简单化 通过补偿使复杂问题向简单问题转化，复杂问题是以简单问题为基础的，复杂问题往往与简单问题有着密切的联系，有的复杂问题是由某个简单问题演化而来的。遇到复杂问题无从下手时，可以通过补偿将复杂问题简单化。 例3：三个完全相同的金属环，把它的相互正交，并把正交点焊接，成为球形骨架，如图３（a）所示，设圆环电阻大小为r，求ＡC间的总电阻（Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ为六个正交焊接点）。 分析：三个相互正交的金属环，六个正交的焊接点，看不出明显的串 并联电阻．同学感到问题十分复杂，找不求解题的突破口，但是如果在ＡＣ 间补偿一个直流电源Ｅ，给ＡＣ间加上直流电压，同学就会很明确电路结构， 此球形骨架电路关于Ｂ、Ｄ、Ｅ、Ｆ对称，B、D、E、F各点等电势，环 BEDF中没有电流通过，这样将ＢＤＥＦ环撤去并不影响电路结构，如图所 示，ＡＣ间的电路简化成了为四个半圆环的并联，这就成了最简单的并联电路。 解答：如图3(b)AC间补偿一个直流电源E，此电路关于BDEF对称，撤去环BEDF，AC间为四个半圆环的并联，每个半圆环的电阻为２r，根据并联电阻关系得 RAC＝×2r=0.5r 三、通过补偿使陌生问题熟悉化 同学们对处理熟悉的问题轻车熟路，得心应手，容易形成正确的解题思路，找到简单的解题方法，但面临一个陌生的问题时往往难以找到解题思路，补偿转化可以将陌生问题转化为熟悉问题。 例４：距无限大金属板正前方Ｌ处，有正点电荷q，金属板接地求距金属板d处a点的场强Ｅ（点电荷q与a连线垂直于金属板）。如图４（a） 分析：a点场强Ｅ是点电荷q与带电金属板产生的场强的矢量和带 电金属板的电场强度的计算是一个陌生问题。画出点电荷与平行金属板 间的电场线并分析其的疏密程度及弯曲特征，会发现其形状与等量异种 点电荷电场中的电场线分布相似，金属板位于连线中垂线上，其电势 为零，设想金属板左侧与＋q对称处放点电荷－q，其效果与＋q，金属板间的电场效果相同，在其左侧对称地补偿－q，如图4(b)问题变成了两点电荷场强的计算，同学就非常熟悉了。 解答：如图4(b)，在+q的左侧对称地补偿-q，根据点电荷的场强计算式 E=k和场强叠加原理，得 Ｅa=k +k 四、补偿使抽象问题具体化 抽象问题对高中学生来说，难以找到思维的起点，适当补偿能使抽象问题具体化，同学就可以找到解决问题的突破口。 例５：是否存在电场线互相平行，但疏密程度不同的静电场 分析：电场本身是十分抽象的物质，研究是否存在电场线互相平行但疏密程度不同的静电场更是一个非常抽象的模型，同学感觉无法下手，用假设法，假设有这样的电场如图5，设a、b为该电场中的两点，在a、b两点之间的补偿两个运动路径acb 和abd 。让电荷q分别沿acb、adb从a点运动b点，比较电场力 做功，若相等就有，不相等则没有． 解答：如图5，设a、b为电场中的两点，补偿路径acb和adb ，让电荷q从a分别沿acb和adb运动到b点，根据题意ψa=ψc ，ψb=ψd根据电场力做功得 Ｗ１＝Ｕab.q=Ｕab.q=qEa.L1 Ｗ2=Uab.q=qEb.L2 由于电场线疏密程度不同有Ｅa≠Ｅb 所以 Ｗ1≠Ｗ２ 这与电场力对运动电荷做功与路径无关相矛盾，证明假设是错误的，说明电场线相互平行，但疏密程度不同的静电场是不存在的。 补偿思维在中学物理解题中有着诸多的应用,本文几例,聊作抛砖引玉,恳请专家同行不吝指教。
