关于子弹打木块模型的分析及拓宽

关于子弹打木块模型的分析及拓宽
在高中力学的教学和复习中，经常会碰到子弹打击木块模型，我在多年的高中教学和复习实践中，把它作为一种典型的物理模型加以分析和拓宽。因为该模型的分析思想和解题方法具有普遍性和可操作性，通过系统的分析和拓宽，学生若能熟练掌握其分析方法，这对许多物理问题的分析和解决带来意想不到的效果。下面就该物理模型谈谈分析方法及应用。
一．关于子弹打木块的分析。
子弹打击木块，由于被打击的木块所处情况不同，可分为两种类型：一是被打的木块固定不动；二是被打的木块置于光滑的水平面上，木块被打击后在水平面上作匀速直线运动。
若木块被固定，子弹和木块构成的系统所受合外力不为零，系统动量不守恒，系统内力是一对相互作用的摩擦力，子弹对木块的摩擦力不做功，相反，木块对子弹的摩擦力做负功，使子弹动能的一部分或全部转化为系统的内能。由动能定理可得：，式中为子弹受到的平均摩擦力，s为子弹相对于木块的距离。
若木块置于光滑水平面上，子弹和木块构成系统不受外力作用，系统动量守恒，系统内力是一对相互作用的摩擦力，子弹受到的摩擦力做负功，木块受到的摩擦力做正功，如图(1)所示，设子弹质量为m，水平初速度为v0，置于光滑水平面上的木块质量为M。若子弹刚好穿过木块，则子弹和木块最终具有共同速度u 。
由动量守恒定律：              (1)
对于子弹，由动能定理：   (2)
对于木块，由动能定理：          (3)
从图形中可得：                   (4)
由(2) (3) (4)可得：     (5)
其中L为木块长度，即子弹相对木块发生的相对位移。(5)式说明子弹打击木块的过程中遵守能的转化和守恒定律，即作用前系统的总能量为子弹的动能等于作用后系统的总能量（即子弹和木块的动能）与转化为系统内能的和。转化为系统内能部分。由(1)和(5)可得。
(1)若时，说明子弹刚好穿过木块，子弹和木块具有共同速度u 。
(2)若时，说明子弹未能穿过木块，最终子弹留在木块中，子弹和木块具有共同速度u 。
(3)当时，说明子弹能穿过木块，子弹射穿木块时的速度大于木块的速度。
从前面分析可知：分析子弹打木块，首先分析子弹与木块构成的系统是否受到外力作用或受到外力作用时合外力是否为零，以确定系统动量是否守恒。其次必须分析系统受到的一对内力及做功情况，若这对内力功的代数和为零，则子弹和木块在相互作用的过程中只有动能的转移。若这对内力功的代数和不为零，相互作用的系统中子弹的一部分动能转移给木块，一部分动能转化为系统的内能，分析子弹打击木块模型的一般规律：
由动量守恒：    (6)
由能的转化和守恒定律：    (7)
(7)式中Q为系统动能转化为内能部分。
二．子弹打击木块模型的延伸和拓宽。
1.系统内力为一对摩擦力的物体间的相互作用。
例1：质量为M的木板B置于光滑水平面上，另一质量为m的木块A（可视为质点）在B的左端以水平速度v0开始向右运动，如图(2)所示，木块A与木块B之间的动摩擦因数为u，若要使木块A刚好不木板B的右端掉下去，则木板B的长度至少应多长？
分析与解：若要使木块A刚好不从木板B的右端掉下去，则木块滑至木板右端时两者具有共同速度u，木块A木板B的相互作用过程中，系统不受外力作用，系统内力为一对摩擦力，小木块A可视为“子弹”木板B可视为“木块”，这与子弹打击木块模型中(1)相似。
由动量守恒定律：     (1)
由能量守恒定律：    (2)
(2)式中的，其中L为木块相对于木板发生的位移（即木板至少长度）
解(1)(2)可得：
例2 .如图(3)所示，在光滑水平面上有一辆小车A，在车上有一水木块B（可视为质点），小车与木块的质量相同，它们之间的动摩擦系数为，开始时小车A处于静止状态，木块B位于小车的中点以水平速度向右运动，假设木块与小车壁相碰撞没有能量损失，求木块B在小车A上运动的总路程？
分析与解：木块B在小车A上作往复运动，由于地面光滑，木块与小车构成系统不受外力作用，动量守恒。系统的内力为一对摩擦力，木块与小车的碰撞没有能量损失，最终木块与小车保持相对静止，两者具有共同速度，在木块B与小车A的相互作用中，木块可视为“子弹”，小车A可视为“木块”，这类型与子弹打木块模型中(2)相类似。
由动量守恒定律：     (1)
由能量守恒定律：    (2)
其中，s为木块在木板上滑行的总路程。
解(1)(2)可得：
2.系统内力为一对弹力的物体间的相互作用。
例3：如图(4)所示，在光滑的水平面上有一质量为M的足够高的障碍物，各面都光滑，一质量为m的光滑小球以水平速度冲上障碍物，求小球能上升的最大高度？
分析与解：小球在障碍物的表面上升到最大高度时，小球与障碍物具有共同速度，小球与障碍物构成系统不受外力作用，动量守恒，小球与障碍物之间的相互作用力为一对弹力，弹力做功实现了小球与障碍物的动能转移，同时小球克服重力做功使小球的部分动能转化为小球的重力势能，在该系统的相互作用中，小球可视为“子弹”，障碍物可视为“木块”，这与子弹打木块模型中(2)相类似。设小球在障碍物中上升高大高度为h，在水平方向上，系统不受外力作用，在水平方向上动量守恒。
              (1)
由能量守恒定律：     (2)
解(1)和(2)可得：
3.系统内力为一对电场力或磁场力的物体间的相互作用。
例4：如图(5)所示，在光滑绝缘水平面上，有A、B两个带正电的小球，开始时，B球处于静止状态，在无限远处的A球，以水平速度正对B球运动，若两球质量相同，求两球在运动过程中电势能的最大值？
分析与解：A、B两球构成系统不受外力作用，动量守恒，两球在相互作用的过程中，库仑力为系统内力，这对内力做功将A球的一部分动能转移给B球，同时使A、B两球构成系统电势能增加，无限远处电势能为零，当两球距离最近时，电势能最大，设为E，这时A、B两球具有共同速度。
由动量守恒定律：     (1)
由能的转化和守恒定律：   (2)
解(1)和(2)可得最大电势能：
例5：如图(6)所示，光滑的弧形金属导轨与
足够长的水平光滑双轨道相连，两轨道距离为L，
在水平轨道的空间存在一竖直向上的匀强磁场，
磁感应强度为B，质量为m2的金属棒乙静止在
水平双轨道上，质量为的金属棒甲从高为h的
弧面上由静止开始下滑，金属棒与轨道接触良好，
甲乙两棒不相碰，求两棒在运动中电路产生的电热？
分析与解：甲棒在弧面轨道下滑，未进入磁场区域，只有重力做功，机械能守恒，即    (1)
当甲棒进入水平轨道时做切割磁感线运动、甲乙两棒与轨道构成闭合回路中产生电流，磁场对电流的作用力使甲棒减速，使乙棒加速，当两棒速度相同时，因产生电动势相等而方向相反，闭合回路中没有电流，两棒都做匀速运动，通过磁场对电流作用力做功使甲棒一部分动能转移给乙棒，通过电流做功使甲棒的一部分动能转化为热，甲乙两棒在水平轨道发生相互作用，合外力为零，动量守恒，由动量守恒定律：          (2)
由能的转化和守恒定律：   (3)
解(1)(2)(3)可得:
三．小结
综上所述，子弹打击木块模型的分析思想和方法具有普遍性和可操作性，一方面从子弹和木块构成系统的相互作用拓宽到任何两个物体构成系统的相互作用，系统不受外力或某方面不受外力或合外力为零，则系统动量守恒。另一方面从子弹和木块的系统内力，即一对摩擦力做功，拓宽一对弹力做功、重力做功、电场力做功、磁场力做功，实现了系统能量的转移和转化。对相互作用的物体系统的分析，应用了子弹打击木块模型的分析思想和方法，操作性强、解答规范简单，对学生分析问题有较好的指导作用。