巧用待定系数法妙解06高考数列压轴题 李美君
纵观2006年全国各地的高考试卷，可以发现数列通项的探求已成为数列问题的一个重点，那如何探求一个数列的通项呢？高考参考答案都是直接构造出新数列使其为等差数列或等比数列，没有暴露思维过程，对大多数考生来说，如何思考，如何构造，极为棘手。本文试图通过2006年全国各地高考数列压轴题的分析与探索，对数列通项的各种类型加以分析、归类，寻找一种简便通用的方法来解决此类题，以便在平时的数学教学和总复习中有计划、有目的，分层次、分阶段地逐步渗透。经过分析归类发现待定系数法可妙解此类压轴题，下面就此问题做个系统分析。 一、为非零常数）型 只需待定系数构造成新的等比数列。 例1：已知数列满足 （I）求数列的通项公式； (2006年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）理科第22题) 解：令，得x=-1，所以 二、为常数且 型 常见有两种待定系数法：一是转化成类型一求解；二是构造成新的等比数列，即。 例2：已知数列｛｝中，，点在直线上，其中=1,2,3…。 （I）令，求证：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项； (2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科第22题) 解1： , 令：,则 ，即； 对第(II)题 解2：， ， ， 。 然后做第(I)题，，是以为首项，为公比的等比数列。 三、为非零常数，且不等于1）型 常见有两种待定系数法：一是两边同除以转化为类型一求解；二是构造出新的等比数列求之，即。 例3：设数列的前项的和，n=1,2,3,…… （Ⅰ）求首项与通项； (2006年普通高等学校招生全国统一考试理科第22题) 解1：，， 即 解2：， 得x=1， 是以4为首项，4为公比的等比数列， 四、为常数）型 关键是将相邻三项递推关系转化为相邻两项与的关系，令，则 是等比数列。 例4：．已知数列满足 （I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式； (2006年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科第22题) 解：令，， 得或， 则数列是公比为2的等比数列； 对（II）， 迭加得， 五、（其中p,q,r,s均为常数）型 可用函数不动点加以待定系数。令⑴，若方程⑴有两个相等的根，则数列是等差数列；若方程⑴有两个不相等的根，则数列是等比数列。 例5：设数列的前n项和为，且方程有一根为，n=1,2,… （Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通项公式． (2006年普通高等学校招生全国统一考试理科（理工农医类）第22题) 解：（Ⅰ）易得 ； （Ⅱ）由题意得. 当n2 时， ,解得x=1, 例6：已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝ ⑴求数列｛an｝的通项公式； （2006年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学第22题） 解：令或， 与相除， ＝， 1－＝， 通过以上几个例题可以看出，用待定系数法可以妙求数列通项，从而解决这类高考压轴题，足见待定系数法解高考数列压轴题的威力。
