巧用待定系数法妙解06高考数列压轴题 李美君
纵观2006年全国各地的高考试卷,可以发现数列通项的探求已成为数列问题的一个重点,那如何探求一个数列的通项呢?高考参考答案都是直接构造出新数列使其为等差数列或等比数列,没有暴露思维过程,对大多数考生来说,如何思考,如何构造,极为棘手。本文试图通过2006年全国各地高考数列压轴题的分析与探索,对数列通项的各种类型加以分析、归类,寻找一种简便通用的方法来解决此类题,以便在平时的数学教学和总复习中有计划、有目的,分层次、分阶段地逐步渗透。经过分析归类发现待定系数法可妙解此类压轴题,下面就此问题做个系统分析。 一、为非零常数)型 只需待定系数构造成新的等比数列。 例1:已知数列满足 (I)求数列的通项公式; (2006年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)理科第22题) 解:令,得x=-1,所以 二、为常数且 型 常见有两种待定系数法:一是转化成类型一求解;二是构造成新的等比数列,即。 例2:已知数列{}中,,点在直线上,其中=1,2,3…。 (I)令,求证:数列是等比数列;(Ⅱ)求数列的通项; (2006年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科第22题) 解1: , 令:,则 ,即; 对第(II)题 解2:, , , 。 然后做第(I)题,,是以为首项,为公比的等比数列。 三、为非零常数,且不等于1)型 常见有两种待定系数法:一是两边同除以转化为类型一求解;二是构造出新的等比数列求之,即。 例3:设数列的前项的和,n=1,2,3,…… (Ⅰ)求首项与通项; (2006年普通高等学校招生全国统一考试理科第22题) 解1:,, 即 解2:, 得x=1, 是以4为首项,4为公比的等比数列, 四、为常数)型 关键是将相邻三项递推关系转化为相邻两项与的关系,令,则 是等比数列。 例4:.已知数列满足 (I)证明:数列是等比数列;(II)求数列的通项公式; (2006年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)文科第22题) 解:令,, 得或, 则数列是公比为2的等比数列; 对(II), 迭加得, 五、(其中p,q,r,s均为常数)型 可用函数不动点加以待定系数。令⑴,若方程⑴有两个相等的根,则数列是等差数列;若方程⑴有两个不相等的根,则数列是等比数列。 例5:设数列的前n项和为,且方程有一根为,n=1,2,… (Ⅰ)求a1,a2;(Ⅱ){an}的通项公式. (2006年普通高等学校招生全国统一考试理科(理工农医类)第22题) 解:(Ⅰ)易得 ; (Ⅱ)由题意得. 当n2 时, ,解得x=1, 例6:已知数列{an}满足:a1=,且an= ⑴求数列{an}的通项公式; (2006年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理科数学第22题) 解:令或, 与相除, =, 1-=, 通过以上几个例题可以看出,用待定系数法可以妙求数列通项,从而解决这类高考压轴题,足见待定系数法解高考数列压轴题的威力。