谈谈数学问题的归类 周杰
数学问题的解决，是学习数学的一种重要手段。问题解决能帮助学生理解、掌握数学概念、公式，提高思维水平。但在应试教育背景下，随着解题训练愈演愈烈，许多学生只顾埋头解题，没有时间对数学问题进行归类分析，思维水平停留在机械重复、简单识记，以至于大多数老师抱怨，同一题型要做很多次才能掌握，从而师生循环陷入“题海”战术。面对这一窘迫境地，本人在实践中思考探索，对数学问题进行归类分析是有效提高解决问题能力的捷径。 一、数学问题归类的重要性 1、归类可以提高解题的正确率。 解题的正确率一直困惑着不少自认为成绩不错的同学，他们往往因为一二个漏洞而没有得到满意的分数，而且走出试场后，往往说是太马虎了，对这个问题，我思考了很多，也找了很多学生，让他们回顾当时做的思维过程，发现几种原因：一是考试赶时间，疏忽了如移项不改变正负号等。二是知识结构中有漏洞，如：知道的极限需要对进行讨论，但在具体的问题中没有落实。三是钻牛角尖。对于第二种情况，如果在类似题目后作一归类，有利于学生搞清数学知识的来龙去脉，理解数学知识及其各部分间的联系，有利于学生纠正思维过程中的错误，弥补学习中的不足，提高解题的警惕性，也就对解题的正确性有了进一步的保证。 2、归类可以避免“题海”战术。 应试教育中，“题海”战术，源远流长，是一种让学生见识大量的题目，从而达到熟悉问题的手段。大多数学生钻进“题海”中，埋头苦做，很少有学生对做过的题目作一归类，只是就题论题，造成在考试中对稍加变化的题目，感到束手无策或一知半解，甚至做过的题目也茫然无解。重视数学问题的归类，串联以前的思想方法、知识点和题型，挖掘题目中蕴涵的思想、方法，那就可以对变式问题、类似问题信手拈来，真正做到少做题目，做好题目，从而发展独立获取数学知识的能力，去适应迅速发展的社会。 3、归类可以提高解题能力。 解决问题的能力，需要通过解题活动加以培养，“学生懂得换元法，是知识；学生掌握换元法的步骤和过程，是技能；但是判断什么时候使用换元法，元不明显时，怎样构造元，则是能力了。”这种能力是学生解决问题后细细体会，琢磨把不同的问题加以区别、归类，对问题有新的认识，使学生体会知识间的有机联系，感受数学的整体意识，进一步理解数学的本质，从而才能解决其他类似的问题，提高解题能力。 归类可以完善认知结构。 数学各知识点之间存在很大的关联，有纵深方向的联系，如：二次函数、二次方程、二次不等式；也有横向联系，如：几何与代数的结合、几何与三角的结合等。学生对此种联系的认知结构有没有建立起来，在很大程度上取决于数学问题的归类，学生在数学归类过程中，去想一些问题，去认识一些问题，去思考一些问题，经过同化、顺应等心理活动过程，才能内化为自己认知结构中的东西，才能举一反三，才能使认知结构更加完善。 二、数学问题归类的基本思路 在解决了一些数学问题之后，如何进行归类分析是学生颇感困惑的问题。这里我以《圆锥曲线》内容为例说明，期待同行们一起探讨。 知识系统的归类 数学问题解决后，重新审视问题。看问题考查什么知识点，跟什么知识同一类。在反复对数学本质的认知过程中，提高自身的数学认识。 例如： 1、到两个定点的距离和等于定长的点的轨迹是 椭圆上任一点到焦点的距离的最大值和最小值分别是 3、椭圆的焦点把两准线间的距离三等分，则这个椭圆的离心率是（ ） A B C D 4、椭圆 （）的两焦点为，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 等等，这类问题考查的都是椭圆的定义和几何性质，如何利用椭圆的定义解题的，它的几何性质又是如何在图象中体现出来的，怎样灵活运用，这么一归类总结，那么在双曲线、抛物线的学习中可以引导学生自己去发现问题，提出问题，在不同的圆锥曲线间进行类比，甚至可类似地编写题目，从而培养学生的创造性思维。 2、解题方法的归类 在《圆锥曲线》中，求动点的轨迹方程，一般有直接法、定义法、消参法，其中消参法分得细一点还有交轨法、坐标转移代入法、点差法，但问题的关键是讲述各种方法之后，要让学生细细体会，各种方法适用的情形，对做过的问题作一归类。 例1、过圆上任一点P作X轴的垂线PN，N为垂足，求线段PN中点M的轨迹方程。 分析：方法一、M的变化引起P的变化，因此设M（）则P（），P在圆上，，用的是坐标转移代入法。 方法二、M的变化是P引起的，P在圆上，设M（），P（），则 （ 为 参数），消参得 ，此法为一般的消参法。 例2、已知抛物线，O为坐标原点，A、B为抛物线上两点，且满足OAOB。若OMAB，垂足为M，求M的轨迹。 分析：M的变化是由A、B引起的，而A、B 之间存在关系；又M是直线OM与AB的交点，因此可考虑用交轨法。 本问题归类时，会发现交轨法适用于求直线与直线，直线与曲线，曲线与曲线的交点的轨迹方程。 例3、已知椭圆，A（4，0），过A作椭圆的割线，交椭圆于B、C，求BC中点P的轨迹方程。 分析：方法一、P点的变化是由AB的斜率引起的，设AB的斜率为K，利用韦达定理写出P点坐标与K的关系，然后消参得P的轨迹方程。 方法二、BC是曲线的弦，P是BC的中点，因此用弦中点点差法，考虑点在曲线上，中点坐标公式，斜率公式，消去参数，得到P的轨迹方程。 本题如果把椭圆改为圆，则用垂经定理得到OPBC，又由圆的定义可知，P在以OA为直径的圆上。 对这几个问题，深入思考、分析一下，对解题方法归类，特别地要揭示各种解题方法的本质精神，而不只是强调数学技巧，那么学生会深刻理解求动点的轨迹方程的几种解法，构建和发展自己的认知结构。 3、问题类型的归类 高考中一般有一个大题是解析几何问题，这个问题常有几类：一是求曲线的方程，包括已知曲线名称求方程和求动点的轨迹方程；二是直线与圆锥曲线的问题，其中大部分是利用韦达定理，常见的还有根据题意设未知数，解方程组；三是求参数的范围，往往考虑三种情况：1）利用已知条件中参数的范围，2）利用韦达定理要满足的条件，3)利用点与曲线的位置关系；四是定值、最值问题，此类问题可利用几何意义、函数思想等方法解决。 例1、设F（2，0）是椭圆的焦点，其相应的准线为，以F为圆心，为半径的圆与椭圆相交于A、B两点，且 求椭圆的方程； 设直线交椭圆于M、N两点，O为坐标原点，求MON面积的最大值。 分析：本问题第一问属于已知曲线名称求方程，利用曲线的定义解答；第二问是直线与圆锥曲线相交，利用韦达定理，建立目标函数求最值。 例2、（05年天津高考）抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P（作斜率为的两条直线分别交抛物线C于、两点（P、A、B三点互不相同），且满足 求抛物线C的焦点坐标和准线方程 设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在Y轴上 当时，若点，求为钝角时，点A的纵坐标的取值范围。 分析：本问题第一问由抛物线的定义直接可知；第二问是求A、B的坐标，利用向量的坐标表示；第三问，已知，求参数的范围，从而求的范围。总体来看本问题着重于根据条件列方程和不等式，解未知数。 解析几何问题经过如此归类后，学生们发现原来很多问题大同小异，解题觉得格外轻松。实际上，掌握了问题的实质，就可以由不同的题型演绎出千变万化的生动问题，显示出无穷的威力。 《新课程标准》认为数学应注重本质，适度形式化，因此，我们在对数学问题归类时，要注重本质问题，使学生在理解概念、体会数学思想方法的基础上，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。
