两点之间线段最短公理的应用教学新探 陈晓君 一、问题的提出 我校“新课程下有效课堂教学策略的研究”课题也播下了希望的种子。作为其中的一名“植树人”，经历着课程改革的点滴风雨，感受着一线教师在课堂教学中不同教学方式的尝试与变化，从对传统教学的批判到合作学习、探究学习形式的流行，倘若把握不住学习的本质便会使我们的教学从一个极端走向另一个极端：在热闹的课堂表象下是对数学本质的流失。 中国古人对学习有着深刻的认识：在象形文字中，学上半部分是两个手把着的算筹，下半部分为一个专门的场所，引申为从书本上、教师里获取间接知识；习的上半部分是“羽”，代表雏鹰，雏鹰离开巢臼试着飞行称之为习，引申为从经验中、个体实践中获取知识。可见学生的学习是教师与学生两者之间的有机结合，任何一方的忽视都是不可行的。 二、理论依据 数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，它具有很强的概括性、抽象性和逻辑性。数学教学是数学思维过程的教学，学生学习数学的过程是在头脑中建构认知结构的过程，是主体的一种自主行为。它遵循着人类认识的一般规律，也有其特殊规律。 2007年4月教育部数学教育高级研修班在宁波举行会议。华师大数学系汪晓勤副教授在这次会议中作了《历史的相似性及其教学启示》报告，报告中提到要像数学家发现问题、思考问题那样进行教学，而这一重要思想就如伟大科学家爱因斯坦给M.索洛文的信中所提及的那样，爱因斯坦把经验、直觉与理论描述为如右图的图景： 从直接经验到建立公理（ε→A），这是一种直觉 联系，从公理到导出命题（A →ε），那是一种逻辑必 然联系，从导出命题到实际（S→ε）则是一种实践、 实验验证，从中得到的经验还可修正已有的公理，如此循环往复。 三、实践研究 下面从“两点之间线段最短”这一公理出发，对教学过程中的若干问题、环节进行如下的实践与探究： （一）从直接经验中得到公理 浙教版《数学》（七上）的教材中是通过生活常识引入这一公理： 小狗看到远处的骨头，总是径直奔向食物； 从A地到B地有3条路可走（如图1），为了尽快到达，人们通常选择其中的直路。 从上面的两个事例中，你能发现什么共同之处吗？ 而在对应的作业题中，有这样一题： （图1） 如图2，A、B、C、D表示4个村庄，村民们准备合打一口水井， （1）水井的位置现有P、Q两种选择方案，哪一种方案中，水井到各村庄的距离总和较小？ （2）你能给出一种使水井到各村庄的距离之和最小的方案吗？若能，请标出水井的位置，并说明理由。 这个公理的正确性无庸质疑，学生都有这样的生活经验，但这个对应的课后练习对一部分学生产生了难度，他们 可能会有个大概的感觉是在中间，却还无法与“两点之间线段最短”这一知识产生联系。教师通过讲解先让学生对这一公理的应用有一初步的感知，不急于揭示本质，但也不停留于此，而是通过下面几个问题的设计，进行类比，引发学生积极思考。 （二）从公理导出的问题 问题1：如图3，A、B两地位于河的两岸，现要求 架设一座桥，使从A到对岸B的路程最短，并使桥与 和河两岸垂直，怎样选择桥址呢？请画出架设桥的地方。 步骤①：桥架设的位置与河岸垂直，因此河的宽度 这一条件不起作用，通过多媒体演示将河两岸靠拢（图3.2）； 步骤②：在图3.2中，学生很容易找到A、B之间的 最短距离（图3.3）； ① ② ③ 图3.1 图3.2 图3.3 图3.4 步骤③：再用多媒体演示将河两岸分开（见图3.4），此时桥的位置P1P2就确定下来了。 最后指导学生画图，理解“两点之间线段最短”在此题中的应用。通过多媒体的演示体现知识之间的结构与关系，挖掘“知识附着点”，即对学习新知、解决新问题起支撑作用的原有知识，或者说将其固定于原有认知结构之中的那些知识，引导学生通过类比，进行思考，抓住知识的内涵本质。 问题2：如图4，某人想从A地到河边去取水，然后 倒入设在B地的水桶内，怎样才能使行走路线最短，试画 出行走路线。 ( 图4 ) 类比：图4.1与图4.2中 点A、B的不同位置 思考：如何将本题（图4.1）转 化到学生的知识附着点（图4.2） 问题3：为了丰富学生的课余生活，某校决定举办一次机器人投篮大赛。规则是：如图5，操纵者站在距线段AB为2米的C处，使机器人从A处出发，到C处取到篮球，然后行使到B处，将篮球投入设在B处的篮筐内，用时少的即为胜利者。为了获得胜利，请你设计出C 的最佳位置（保留画图痕迹），若AB=3米，求出机器人行使的最短路程。 联系上题的知识附着点（图5.1） （图5） 图5.1 关键：画出到AB距 利用对称找 离为2的直线（图5.2） 到C点位置 图5.2 图5.3 教师抓住这几个数学问题之间的结构、关系及顺序，并恰当的改变它们，从而创造出一系列的问题，引导学生以不同的角度和不同的情形去看待它们，让学生感受到“万变不离其宗”，而这“宗”就是最核心问题，从而掌握知识的本质，达到教学的最佳效果。 （三）回归公理，剖析公理的本质 从以上几个问题中，引导学生总结，我们研究的都是点与点之间的距离最短问题，那么再次回到浙教版《数学》（七上）这一公理的引入。在狗去吃骨头的三种路线中（如图6所示）： A、P1、B与A、P3 、B不在同一直在线，唯有 A、P2、B在一直线上，让学生抓住“两点之间线段 最短”的实质就是这些点所形成的路线是直线，而非 （图6） 曲线或是折线。特别是A、P3、B这条折线的路线较长还有一个理由------两边之和大于第三边，而三角形的三边关系这个性质也是基于“两点之间线段最短”这一公理之上的。 （四）把经验应用于实际，抓住本质，将问题引入更深层次 通过教师以上搭建的不同脚手架，使学生一步一步扎扎实实地抓住了“两点之间线段最短”这个公理的核心内容，在学生的学习知识结构中建立了这一知识的应用模型，在此基础上，创设下面两个应用，开展探究性学习模式，将问题引入更深层次，培养学生的创新能力。 应用一： 新年联欢会上，同学在礼堂四周摆了一圈长条桌子， 其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉， 礼堂中间放一把椅子。游戏规则是这样的：甲、乙两 人从A处（如图7）同时出发，先去拿苹果，再去拿香 蕉，然后回到椅子所在的B处，谁先坐到椅子上谁赢。 （图7） 小聪和小明比赛，比赛一开始，只见小聪直奔东北角两张条桌的交点M处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，不料还未跑到B处，只见小明已经 手捧苹果和香蕉稳稳的坐在B处的椅子上了。如果小明不比小聪跑得快，是不是还有快捷方式呢？ 教学中先分析小聪的路线(如图8)，引导学生思考： 如果小聪走的是最短路线，即AM+BM最小，能否让 AM与BM在同一直线上吗？然后进行实验操作------ 画不同的对称点，通过多次的实验比较，学生定能找到 问题的答案（如图8）。 （图8） 在直角坐标系中，有四个点A（- 8，3）、B（- 4，5）、C（0，）、D（，0），当四边形ABCD的周长最短时，的值是_______. 通过第1题的思维练习，学生对于第2题一定能迎刃而解。而第1题这一生活化的例子是对第2题的铺设，缩小知识之间的潜在距离，使探究活动更具有效性。 应用二： 1、设、为正数，且，求的最小值。 本题应用中，引导学生将代数问题转化到几何模型，如何创设“两点之间线段最短”这个几何模型呢？显然我们要将问题中的与看作两条线段的长，把问题转化为求两条线段和的最小值。根据代数式的特征引导学生联系直角三角形的勾股定理这一知识。 （1）如图①，作长为6的线段AB，过A、B两点 在同侧作AB的垂线段AC、BD，使AC = 1，BD = 2； （2）设P是AB上的一个动点，设PA =，PB =， 则，连结PC、PD，则PC = ， PD = （3）如图②，只要在AB上找到使PC+PD为最小 的点P的位置，就可以计算出的最小值。 2、某渔夫在A地捕鱼（如图9），A 离海岸（直线）最近点距离为6，点B离家C距离为10，因为受到水流影响，他划船的速度只能达到3，而步行速度能达到6，打完鱼后，渔夫为尽快到家， 他应该在BC之间哪点着陆？请画图并作必要说明，同 时算出回家所用的时间。 先列式：设着陆点为P，则 （图9） 再引导：如何将此代数式转化成几何模型？此时探究活动教师的适度介入会使学生的探究活动更有意义： 将式子适当变形成，见下图：
如何构造这一线段 ，使得 与AP在同一直线上？
引导学生联想含30°的直角三角形 应用二的两个例子是对学生已建立起来的知识结构的又一次冲击，是打破思维定势的又一次创新。数和形在本环节中得到了有机的结合，启发学生如何应用“两点之间线段最短”的经典几何模型，通过对比、联想等适当的转变思维方向，调节思维策略，不断在原有基础上突破思维定势，创设新问题的模型，达到学生创新能力的培养。 结束语： 认识论告诉我们，人们创造或接受一种新的知识，便都想认识它、学习它、研究它，并进而发展它。数学教学在某种意义上也正是反映了这三个层次，即传授知识，教育学生学习数学；启迪思维，引导学生认识数学；培养能力，鼓励学生发展数学。“两点之间线段最短”这一问题的研究设计正是充分体现了这三个层次的一个有机结合，有表及里，有感性到理性，有形象到抽象，精心设计每个问题，环环深入，揭露本质，通过教师的步步引导，学生在细腻中见扎实，在体验中增才干。只有这样才有利于学生学习和掌握知识，有利于学生思维能力的提高和素质的增强。站在教学第一线的教师，若能遵循人们认识事物的一般规律进行教学实践，将与习有机地结合，那么所谓的“加时之风”、“题海战术”、“死记之道”、“补课之功”便会荡然无存，随之而来的便是学生的高效率学习。 参考文献： 赵多彪《题源教学法的构想与探索》 顾冷沅《有效地改进学生的学习》 吴吉春《构建教学新课堂》
