数学教学中两角差的余弦公式的推导

数学概念、公式是自然的，不是强加于人。知识背景、形式过程，应该是合情推理、水到渠成的。学习贵于疑，而问题是数学学习的“心脏”。通过创设问题情境，引入需要学习的内容，然后引导学生自己发现问题，提出问题，思考问题，经历实践动手，自主学习，主动探索，不断地从具体到抽象，从特殊到一般，形成批判性的理性思维和严谨的科学态度。
首先通过章头图实际问题的引入，又作恰当的数据改变，起点要低，要浅，让学生感受到研究两角差的余弦公式的必要，通过求的特殊问题，引起学生学习兴趣。学生能轻易地解决，然后作相应的推广，引发知识矛盾冲突，同时明确探究目标。推导过程分四个层次：一是直觉精神，主要通过计算猜想，两角差余弦公式，特殊验证，作出初步决策。二要适当的点拨推广，在为锐角的情形下，在初中平面几何知识内的探究。要贴近学生实际知识水平，从头至尾要反思探索过程，让学生回忆高中数学知识中的三角函数定义及单位圆上的三角函数线来研究问题，这样从多种途径对《两角差的余弦公式》的推导，有助于学生理解公式，加强数学内容之间的联系，增加学生利用已学过的知识来解决实际问题的机会，只是上面的推导过程比较繁难，而且都在特殊情况下进行。三是对一般情形探究，主要是应用三角函数定义，向量的数量积的知识来推导，让学生体会运用向量工具进行探索，过程多么简洁，从而进一步深化向量的丰富知识背景。认识它是沟通代数、几何和三角函数的一种工具，运用向量解决问题可以发展自身的推理能力和运算能力，然后让学生发现推导过程不严谨之处，请学生补充完善。四是对探究过程的反思升华，应用三角函数定义及两点间距离公式推导公式。这样教学过程符合数学研究问题的规律。使学生感受到学习探究过程中是不断猜想，不断矫正，从特殊到一般的思考过程。
展示实例，创设情境素材
某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上，如图1所示，在地平面上有一点A，测得A、C两点间的距离为a米，从A观测电视发射塔的视角（）约为，，求①AD的长度，②的值？（由学生作答）
                           解：作CEAD交AD于E，在Rt中，CE=，AE=，在 Rt中，，ED=，从而计算出AD=，                                                                     在Rt中，AB==，在Rt中，                     cos15==。
问题悬念，激发知识矛盾
你认为cos15= cos（45—30）= cos45—cos30正确吗？学生答出cos45=，sin45=,cos30=，sin30= 。经验证显然不成立。
学生会猜想出cos15= cos（45—30）= cos45 cos30+ sin45 sin30
或sin45 cos30+ cos45 sin30，这样引发困惑，激起决策欲望。通过特殊验证，让学生计算cos10= cos（30—20）= cos30 cos20+ sin30 sin20，还是sin30 cos20+ cos30 sin20，作出初步选择，学生学习发现计算可猜想出初步结论，培养直觉的数学观察能力。教师也可以通过《几何画板》来直觉猜想，作相应的点拨推广：当45改为，30改为时，cos（）= cos cos+ sin sin，对任意的，是否成立？抛出问题，激发探索的欲望。要提醒学生我们先从均为锐角情形下来推导，验证。我们仍用图1来解决问题，所用知识只是初中平面几何知识和三角函数定义。
解：Rt中，cos（）=，令AC=a=1，此时，cos（）=AB，在Rt中，cos =，sin= ，在Rt中，cos=AE，sin=CE，在Rt中，=tan，从而发现等量关系：cos（）=AB= cosAD= cos（AE+ED），AE+ED= cos+ED= cos+EC tan= cos+ sintan，cos（）= cos（cos+ sintan）= coscos+ sin sin
这样处理，放低了知识要求，学生容易推导，激发推导欲望。
三、展开联想，回归定义引申
由于涉及的是三角函数问题，学生会考虑回到基础定义，可用单位圆上的三角函数线来推导，教师要利用多媒体，积极引导学生经历作角——找线——找探求过程中的等量关系。方法1是教材中已有（从略），关键在于罗列已有条件，利用几何直观寻找OM的表达式。但有学生不是利用图3作角的方法，于是有图4所示。
解：作，，，ACOB于C，连AB，A（cos，sin），B（cos，sin），则cos（）=OC，AC=sin（），在Rt中，AC= sin（），
                                    CB=1-cos（），又因为AC+BC=AB
所以[sin（）]+[1—cos（）]
=[ cos—cos]+[ sin—sin]
从而得到：
cos（）= coscos+ sin sin
多种途径，运用向量推导
以上推导过程都是在都是锐角，且>的情况下得到，而且推导过程和推广工作非常艰难，学生在第二章已学习向量是解决几何问题的有力工具，有着极其丰富的实际背景。我们可通过提出问题暗示，从合情推理过渡到逻辑推理。在第二章向量中用什么知识可求cos的值？这种开放性提问暗示，学生的眼光会发出色彩，开拓了学生思维的空间。人教版已有，这里从略。在探索过程中，我们不必追求一步到位，先不理会其中的细节，抓住线索，明确目标进行探索，然后再反思在哪些方面需要完善，体现了数学发现的一般方法。一方面引导学生朝着正确的目标前进，体会向量方法的作用；另一方面，采用设问的方式，关注学生思维的漏洞，帮助学生完善。通过多种途径思考，培养学生的自主探究能力，对向量的坐标表示以及向量数量积运算有了进一步的理解。同时，推导过程的补充完善，对形成严谨的数学思维品质有益处。事实上，在《几何画板》中对角移动，可推出来补充完善。
反思过程，提炼解题方法
有学生对图4作稍微改变，有了最精华的推导方法，图5所示
                              解：作，，
                                 作， C（1，0）
                             利用相等圆心角所对弦长相等，
所以AB=CD
∴[ cos—cos]+[ sin—sin]
图5= sin（）+[1—cos（）]
cos（）= coscos+ sin sin
这时，对任意的角都成立。
在反思以上学生的推导过程，提炼出如此经典的方法，真是“柳暗花明又一村”，我用赞赏的眼光大胆地表扬了学生。学生在“试一试”、“猜一猜”、“证一证”、“用一用”过程中，体会到向量是好东西，也体现了数学的科学性与艺术性是相结合的。在忠于教材，又不拘泥于教材的处理过程中，通过合作学习，合理探索，互动交流，学生的学习是舒适的。在发掘、归纳、不断提升，增厚了学生的学习兴趣。培养了学生的理性精神和严谨科学态度。在运用多种途径解决问题过程中，发散学生的思维，提高处理问题的能力，有助于理解公式，深化加强数学文化的修养。在对知识探索的过程中，在学习的实践中，学生有所感悟、有所体验、有所提高，同时感受、理解知识产生和发展的过程，形成了数学的科学精神和创新思维的习惯。从学生已有知识、经验、方法出发，在教师引导下提出解决问题的门径，引导学生“自得”，激发了学生的探究精神和主动参与到学习活动中来。
我思：通过以上四个层次的推导过程，是符合学生认识规律，贴近学生实际知识水平，同时学生感受到学习过程中不断猜想，不断否定，不断修正，从特殊到一般的思维过程，体现了探究过程中“大胆设想，小心求证”。好像是在建设青藏铁路，体会了获取知识的艰难和喜悦，在冰山雪地中寻找美丽的雪莲花，经历了登山的乐趣。发现数学是严谨的，数学是美丽的，数学能提高我们学习的能力，数学是有趣的，数学是有用的。学生会投入更大的热情来学习数学。
我想这样的设计符合认知规律，使学生感受到学习过程是快乐的，研究问题是从特殊到一般的思维过程。通过探究和证明不但培养学生的逻辑推理能力，而且培养学生创新能力及优异的数学思维品质。又体现了“大胆猜想，小心求证”的教学思想，使学习过程变成火热的思考过程。研究数学题像是在寻求“空谷中的幽兰，高寒中的杜鹃，老林中的人参，冰山上的雪莲，绝顶上的灵芝，抽象思维的牡丹。”从落实知识为出发点，培养学生能力为归宿点的教学设计过程中，确定目标，分析任务，同时了解学生的实际知识水平，作些必要的搭桥设计活动，是符合学生认知的心理特征的。从困惑中展开联想，从一题多解激发学生的发散思维，从“犹抱琵琶半遮面”，到“千呼万唤始出来”过程中，弹奏出推导方法的多样性。学生会自觉投入到探索数学问题中来。
在“算一算”、“试一试”、“猜一猜”、“证一证”的过程中，不拘泥于教材，又忠于教材的处理是体现数学学习的科学性和艺术性相统一。在对传统教学的反思，对新课程的理念的思考，对教材的分析的基础上，通过合作学习，合理探索，师生互动的教学过程中，能提高学生的数学应用意识和创新意识，从而提高学习数学的兴趣，逐步认识数学的应用价值和文化价值。在以教学内容为知识载体，以教学目标为灵魂出发点的探索过程，通过一题多解，纵向联系，多种途径推导，聚沙成塔，日积月累，能拓展学生的数学视野，形成严谨的思维品质和锲而不舍的科学精神。
我思：高中数学的公式课很重要。重点要放在探索过程中，可以分成五个步骤：
创设问题情形，激发学习欲望。注重公式如何发现，要贴近学生实际水平，要前后呼应。
培养学生的猜想能力，呼唤公式的出现。这个过程是自然的，学生听起来是舒适的。
深化加强理性认识。对有不严谨之处请学生补充完善。着重理性文化的渗透，形成批判性的理性思维。
多种途径探索，有助于理解公式，形成能力。
归纳公式的结构特征与练习，发现数学是美丽的，增厚学习的兴趣。通过变式练习，巩固落实知识的目标。
参考文献：
1.《普通高中课程标准实验教科书》必修4、人教版 2004年5月第一版
2.《高中数学课程标准》2003年4月
3.《教学目标——不该被因为遗忘的教学起点》蒋亮《数学通报》 2005.6