初中数学教学中经验归纳学习和理性思维培养的分析与思考

初中数学教学中经验归纳学习和理性思维培养的分析与思考

人类智慧攀升和有效的认知活动是经验和理性的螺旋循环。学习数学也不例外，然而数学教学活动中经验归纳与理性思维既互相支持又矛盾对立，况且初中学生正处于经验型思维向逻辑型思维过渡的阶段，以致在具体教学中较难正确把握两者的权重量纲，容易产生偏颇做法。因而充分认识经验归纳与理性思维的关系，是完全必要的。也只有把握了它们之间的辩证统一关系，才能避免和纠正片面追求的行为。
一、经验归纳教学的作用
在初中数学教学中，引导学生对生活实际或动手操作进行有意义有目的的分析、探索，进而提炼数学中的一般性规律，即用经验归纳的方法寻求数学的事实性结论。主要有下述教育意义：
1、学生体验了经验世界中数学知识的形成过程，根据建构主义的认知观点，是学生对知识进行意义建构的有效途径。不过这样建构的知识，仅具实证性，还不深刻，是浅层次的。
2、使学生得到归纳方法的学习。归纳方法被誉为发现的“逻辑”，广泛地应用于自然科学研究，科学史上许多重大的发现和发明主要依赖于归纳方法。例如，开普勒在研究太阳系行星运动时，对十年观察和计算的数据进行归纳，得到天体运动第三定律。孟德尔归纳八年的实验数据，完成了《植物杂交试验》的伟大论著，为遗传学作了科学奠基。在数学研究中，也常借助归纳作出猜想和判断，著名的哥德巴赫猜想就是通过归纳得到的，又如对数由类比归纳得到。学习归纳方法也就是学习了科学研究的基本方法，对提高学生发现和创造能力具有十分积极的意义。
3、通过对数学知识形成的“情境”性体验，使得对抽象的数学概念有朴素的理解，为进一步进行数学抽象思维提供依托和支持。在数学学习的问题解决中，经常对某问题的具体个别情形进行考察、归纳，寻求解决问题的策略和一般方法。
4、增强数学知识与现实生活的联系，由此增进数学价值的认识，增进数学应用的意识和能力，提高用数学的眼光观察世界的能力。
5、经验归纳将数学与生活融洽，有利于增进学生学习数学的兴趣。兴趣是促进自觉能动的动力，特别是通过归纳得到发现和创造时，使人的心灵深处倍感快慰，将产生浓厚的兴趣，有可能达到虽为其“劳苦”而感到乐的境界——乐此不疲。
正基于上述理由，当前初中数学教学中凸显经验归纳教学，其意义是不言而喻的。但是，也应该清楚地认识到归纳有很大的局限性，不仅数学知识不可能全由归纳得到，而且就其本身而言，缺乏深刻，以及得到的结论不一定正确。
二、归纳的正确性需要逻辑支持
在数学王国里，虽然数学的某些结论可由直觉和归纳得到，但要确定结论的正确与否，归纳几乎无用武之地。归纳证明有效的命题极其少量，并且还需要逻辑支持。（可用归纳方法证明的主要是代数恒等式，但借助了代数基本定理的逻辑支持。至于用机器证明几何命题，那是对证代数恒等式的一种应用）。通常把直觉和归纳得到的命题不视为真，原因是直觉和归纳往往会出错。例如：
1、判断全体正自然数的个数多呢还是全体正偶数的个数多？从直观意义上考虑，把全体正自然数从小到大依次排列，任意取出相邻的两个，自然数有2个，偶数只有1个，于是得到正自然数的个数是正偶数个数的2倍；从归纳的意义上看，在100以内进行考察，自然数99个，正偶数49个，个数的比值：99/49≈2。在1000以内考察，两者个数的比值：999/499≈2。在10000以内，在100000以内考察……，可得两者个数比值的极限是2,与直观同样的结论。凡涉足过超穷数理论的人都知道上述结论是错误的。事实上，只要构造函数M=2n,显然值域与定义域有一一对应的关系，便知归纳所得结论错误。
2、“XXX教材八上1.1《勾股定理》中：根据下面图形的各条边的关系，请你探索出直角三角形的三边的关系，结果大部分学生根据32 =4+5、52 =12+13，继而得出错误的结论：a2=b+c，即较长直角边与斜边的和等于较短直角边的平方。”[1]

并且更多的事实犹如观测水中的一根直棍，获得的感知是弯曲的一样。为此，大天文学家开普勒指出：“当知识通过感官被直接提供给心灵时，是模糊、混乱和矛盾的，从而也就不可靠的。” 所以对经验得到的东西总要问个为什么？总要有理性的思考。哲学家叔本华说：“经验从总体来讲，是要从这种形而上学得到解释的。”东汉哲学家王充说：“是非者，不徒耳目，必开心意”。确定事物的本质不能仅凭感觉，一定要有理性思考。特别地经验得到的数学命题必须有理论的证明。
实际上，人类在处理数学上理由不充足的结论时，总是小心谨慎的。像哥德巴赫猜想，尽管千万次验证都是正确的，但由于没有得到理论上的证明，人们还是叫它猜想而不叫定理。有时即使得到事实性的结论，如果理论有缺陷，也会用怀疑的眼光去看待它。如微积分在创立之初，由于理论不完善，人们纷纷质疑无穷小量的处理不合理，就连当时思想界的巨头红衣主教贝克莱、马克思主义学说的创立者之一马克思都参与质疑。（微积分从初创到理论完善经历了一百年）。无数事例充分地反映了人类对数学严谨性所持态度是严肃、认真的。
三、经验归纳教学中的偏差现象
数学产生的早期源于实际，经人们的抽象与实际分离。在抽象基础上再抽象得到的概念虽然在生活中存在原型，但往往复杂的居多，有些在教学中采用把握不好会使教学效果适得其反。如有理数乘法运算中负数乘以负数的法则提炼，尽管我们老师作出大的努力，举了尽可能简洁的例子，可是教学实际情况是不少学生感到繁琐、复杂，难以理解。由此学生可能产生畏难情绪而导致厌学。与其是如此，还不如“没有”的好。
考察目前初中数学教学的情况，有些老师近乎缘木求鱼，在教学中不论什么内容，一律都采用经验归纳的方式进行教学，把好多主观生造、牵强，甚至严重脱离教学实际的东西搬进课堂，把教学的目标转向为纯粹创设生活情景的教学，使学生得不到真正意义上的数学学习。好比是阿拉伯谚语所说的：“磨坊的声音我确实听到了，但面粉却没有看到。”所以，用生活经验归纳的方法进行数学教学，要根据学生的实际情况和教学的具体内容进科学辩证的方法分析而定，以简洁、自然、贴切为宜，不应每每如此。
事实上，数学“它有自身发展的内在‘情景’，按照这种内在联系来学习，掌握的知识牢靠，应用起来得心应手。”[2]“一个好的数学情境，能融数学的教与学为一体，具有数学教学活动的内驱力，并使数学课堂具有自我生长的立体环境。”[3]比如，三角函数概念的导出，该问题的焦点在于比值的大小只与角的大小有关，而与角终边上的位置选择无关。用已知的数学事实相似三角形性质来说明，自然、简洁明了，并具普遍意义。若用生活经验或动手操作进行归纳，想必是一件复杂繁琐的工作，未必有益于教学。因而，数学教学也要注重运用抽象思维，拿已知的数学事实，精中求简地去解释新概念、新知识。
我们知道，要学好数学需要理解记忆，也就是要明了数学知识的形成过程。当前数学教学中普遍存在着仅把经验归纳作为知识的形成过程，忽略理论推导的过程。归纳是感的“进路”，理论推导是思的“进路”。数学对象的抽象性决定了学习数学离不开思，一旦离开了思，将造成不求甚解，只求记住若干“处方”，不仅兹长和强化模仿记忆和机械记忆之惰性，也给进一步学习数学知识带来大的困难。
四、数学理性思维教学的意义
1、数学理性思维的主要内容是逻辑推理，而逻辑推理既是数学的组件，也是数学理论完善的保证。建立数学新概念大多不以经验世界中的真实事物为原型，是以先期由抽象得到的较低层概念为原型，进行抽象得到，而抽象的过程是运用数学思想，数学方法进行逻辑推理的过程。逻辑推理是数学知识中过程性的部分，是数学活动的程序。数学从抽象到抽象连结的纽带是逻辑。因此我们说数学由概念（陈述性知识）和逻辑推理（过程性知识）构造而成。学习数学不学逻辑推理，所学仅为躯壳不是本质。
数学中的逻辑推理是数学活动清楚，正确的保证，陈省深曾说：“数学的主要方法是逻辑推理，因之，建立了一个坚固的思想结构。”
正由于数学对象的本质特征是抽象，需要用思维来把握，由此决定了数学认识方法不能像其它自然科学那样，只要用观察、归纳和实验的方法，而是要用公理系统和演绎相结合的方法。也就是说要学习本质意义的数学，要想向数学的广度和深度进军，严谨性和系统化是必由之路。
2、数学的理性思维方式运用已远远超越数学自身，广泛地应用于自然科学，就连人文学、社会学方面，也有许多用公理化理论体系的论著。另一方面对于数学理性的追求，在于通过严格的数学训练而得到数学思想方法熏陶，数学思想方法会对学生今后的工作和生活中真善美的追求长期发挥积极的作用。
3、数学理性思维不仅激发创新，而且造就创新。解决数学问题的过程，激发着人丰富想象和自由创造的充分发挥。举例说，为求高次方程的解，创造了矩阵；为解决三大几何作图难题，创立了圆锥曲线理论；在射影几何中，富于创意的无穷远点，无穷远直线使点与线对偶和谐。许多定理的证明，公式的推导是人们奇思妙想的结果，是思维自由想象和创造力尽情发挥的充分体现，也是艺术尽善尽美的表现。拿德国学者格罗.冯.兰多的话说：“好的证明本身就是有创造性的，这种证明在于从新角度去审视已知事物。”可见，在培养数学理性思维的同时，获得创新思维的演练、发展和提高。再是逻辑演绎也常得到新的发现，如集合论中的某些由演绎得到的结论，竟连创立者康托尔也为之感到惊异。
4、对理性精神的追求也是初中学生情感的需求。研究表明一个人的思维发展是：幼儿直觉思维，儿童具体形象思维（经验型思维），青少年抽象逻辑思维，最后过渡到辩证思维。初中学生正处于从具体经验型思维过渡到抽象逻辑思维阶段（明显的转折期在八年级），他们学习数学的情趣有满足挑战性的心理特征，对只有“量一量”、“算一算”的数学学习感到单调和乏味，不能唤起学习的激情，反而会滋生惰性。正如人们玩飞行棋游戏一样，儿童玩飞行棋会觉得很有趣味，若叫一个中学生和成人玩飞行棋，他就感到太过简单，没有刺激，以致毫无兴趣。他们已需求高层次的数学思维，因此仅就生活经验归纳得到数学概念为终极的教学，既不能满足学生的情感需求，也不利于学生的智慧攀升，也是对教学对象资源的损害和浪费。
5、初中学生的数学理性思维培养，有利于高中数学的学习。高中数学新教材的编者寄语讲到：“高中的数学学习需要转向数学的高层次思维”，而“高层次数学思维，是……对区别于经验归纳与逻辑理论证明的一种界定。”[4]这就给初中数学教学提出这样的要求，为学生搭好高中学习的台阶，做好初高中的衔接工作，即做好学生证明学习的基础工作，给升入高中学习的学生培植数学知识生长的根。
理性思维是高级的思维活动，草率从事难以登堂入室，只有认真、孜孜以求才能获得。但教学中要慎防把所学知识与现实相分离，过分强调学科纯形式化的逻辑结构和概念命题系统的那种固化教学现象。
五、课标初中数学教材对证明教学的轻视
“一个民族要想站在科学的最高峰，就一刻也不能没有理论思维”（恩格斯语），因此要实现科教兴国，在教学中培养学生的科学理性思维精神是不可或缺的。初中学生的理性思维培养主要是通过学习数学来完成。另一方面作为重要数学素养的数学思想和数学方法，大多蕴藏于数学活动时的理性思维过程之中。数学理性思维的主要表现形式是逻辑推理，所以学习逻辑推理是学习数学之必须，也是实现素质教育和学生自身发展之必须，更是国家兴旺发达之必须。但课标初中数学教材，轻视证明教学，将不利于学生理性精神的培养。主要有以下三个方面：
1、不重视证明的入门学习。证明的入门学习，是一个人学习数学进程中一道较难的屏障。对一个初学者来说，一是不知证明的语言如何表达，在表达中存在这样或那样的错误，诸如，条件不全，张冠李戴，已知条件乱用等；二是根据自己的证明需要常常临时“创造”想当然的结论；三是往往得到毫无因果关系或理由不充足的结论。要纠正初学者易犯的错误和提高学习的效果、效率，实践证明让学生在理解的基础上，从模仿中得到积累而升华是行之有效的方法。在具体的教学实施中，是一项较为细腻，需分小步逐一到位的工作，足显“唯积跬步方可至千里”。但教材和配套课外练习，都省略了这项工作。致使不少学生，遇到要说理的题目就说：“老师，这个问题我已经清楚明白，但不知如何表达”，并且对稍难一点的证明题束手无策。另据调查，在初中阶段依课标数学教材学习的不少学生，对学习高中数学感到困难多，压力大。其主要原因从认知心理学的角度看是学生初中基础知识与高中所学知识相脱离，缺乏知识生长之根基。
2、以例举和经验归纳作为数学概念教学的终极。如浙教版课标数学教材八年级上第36页：“任意画一个直角三角形作出斜边上的中线，并利用圆规比较中线与斜边的一半的长短，你发现了什么？再画几个直角三角形试一试，你发现相同吗？一般地直角三角有以下性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。”没有给出理论证明，也没有作必要的说明，马上对这一结论进行生活实际应用。另外，如三角形内角和定理，是无理数，勾股定理的逆定理等都采用类似的方法处理。这样做，一是失去数学应有的严谨；二是让学生在经验世界里反复兜圈，使所学知识得不到质的飞跃。三有可能误导学生以为归纳的结论一定正确。
对于命题“直角三角形中斜边上的中线等斜边的一半”（*）（简证如下：设△ABC中,∠C=900，CD是AB上的中线。过A作AE∥BC交CD的延长线于点E，则△ADE≌△BDC=>AE=BC，CD=DE=1/2CE，△ABC≌△CEA=>AB=CE=2CD）只用二次全等便可得证，算不上复杂，是原来教学大纲要求学生掌握的。从2006年课标中考数学试卷看，北京市的25题，十堰市的24题等都是比命题（*）要难，教材为什么那样处理，可能是整体思想结构使然。
3、大部分初中课标教材，对于证明教学没有一处浓墨重笔，比如没有思维点拨、方法指导、证题的分析与思考等，基本上是平铺直叙、平淡简便而过，举例少而简单，有些定理还省略不证。
结束语：
对人的认知活动进行仔细考察，容易感悟到经验归纳与理性思维是相辅相成的。两者共同的作用，促进着人认识能力提高与认知活动向广度和深度发展。但由于初中数学教学活动中受着诸多因素的制约，特别是学生思维形态正处于转变期和数学学科的后继学习对数学严谨性要求较高。使教学具体实施过程中较难把握经验归纳与理性思维两者的尺度，往往产生一些片面做法，给教学的有效性打上折扣。辩证的方法告诉人们重要的就是避免和纠正过极行为；并且从矛盾中找到统一，在相反中找到相成，摆正陪衬与本质的位置关系，把事情做得恰到好处，左右逢源。就是把理性认知属性和非理性认知属性在合理的张力作用下进行恰当整合。其实，建立事物之间的辩证统一关系是我们中国传统哲学的精华，如《黄帝内经》追求“阴阳平衡”；《老子》阐释“有无统一”、物循自然；儒学倡导“中庸”、不偏不倚，谓之“极高明而道中庸”等。因此，为保证初中数学教学的有效性得到充分发挥，就用科学辩证的方法来引领我们的工作吧！
参考文献：
[1]林旭亮我对初中数学探究学习的认识中小数学2005（7-8）5-8
[2]刘世策创造性发展启发式教学思想，积极科学地进行课程改革中小数学 2003（12）1-2
[3]黄翔等关于数学课程的情境化设计课程教材教法 2006（9）39-43
[4]郑毓信等《数学文化学》[M] 四川教学出版社 2004