给学生一方翱翔的天空 -------课堂教学中数学问题解决能力培养的思考与尝试 一提到数学这个词，大家都觉得只是“题”是“数字”，学生学数学只要做题就行了。然而数学它本身不只是“数字符号”，它有更丰富的内涵，它与人的生活息息相关。数学是对现实世界的一种思考、描述、刻画、解释、理解，其目的是发现现实世界中所蕴藏的一些数与形的规律。你可以自由探索自己心目中的数学世界，正是这种自由探索才是数学美的力量所在。学会认知、学会做事、学会生存、学会共同生活。数学问题解决能力的培养，便是对学生的一般数学能力与特殊数学能力的综合培养，给学生一方思维翱翔的天空，将会有成功之外的成功。 一、培养数学问题解决能力是课堂学教活动的核心内容 数学能力分为一般能力和特殊能力，其中数学思维能力是数学能力结构的核心，数学问题解决能力是各种数学能力的综合运用。具体如下： 数学观察能力 一般数学能力 数学注意能力 数学记忆能力 数学运算能力 数学抽象概括能力 数学逻辑思维能力 数学能力 特殊数学能力 数学思维能力 直觉思维能力 数学创造性思维能力 空间想象能力
综合性数学能力------ -数学问题解决能力 所谓“问题解决”，包括三方面含义：(1)“问题解决”是数学教学的一个目的。这个目的就是要帮助学生提高解决实际问题的能力，体现出问题解决是中学数学的核心。(2)“问题解决”是一个过程。具体表现为教师对学生运用数学知识进行思维活动的指导过程。它具有创造性，是一个发现、探索的过程。(3)“问题解决”是一个基本技能。可以帮助我们组织日常教学中的技能以及概念和问题解决的具体内容。 让学生学会“数学地思维”。数学问题解决能力就是提出问题、解答问题和评价问题的能力。事实上，数学知识体系的发展与完善，就是数学问题的不断发现、不断解决的结果。而数学课堂教学中，数学组成的真实要素无不是数学问题和数学问题的解决。因此，数学课堂学与教活动的核心应在于培养学生的数学问题解决能力。 培养数学问题解决能力是提高数学素养的有效途径 对中学生而言，应具有的数学素养有：(1)数学知识、技能、思想和方法。(2)数学能力。(3)数学观念。(4)数学品质。而数学问题解决能力的培养作为教学目的与教学过程，既可以切实提高学生的各种数学能力，也可以强化学生的用数学的思维方式去考虑问题、处理问题的自觉意识与思维习惯。 重视“问题解决”在一定的意义上说就是重视数学的应用价值。张奠宙教授曾说：“问题解决反对单纯模仿，更多地从问题情景出发，构造数学模型，提供数学想象，伴以实际操作，鼓励发散思想，诱发创造能力，把数学嵌入活的认知过程中去，……” 要估价一种教育是否真正有价值，我们最终要考察的，不在于其知识、课程、作业、考试，而在于它是否拥有智慧，是否是有智慧的教师通过有智慧的教育培养了有智慧之人，这才是教育的本质和灵魂。 课堂中培养数学问题解决能力的初步尝试 发展问题解决能力的基本因素是开阔的头脑，好奇和探险的态度，探索、尝试、理智地猜测的意愿。教师应该创设问题解决的课堂环境，鼓励学生提问、实验、探索和解释，努力提高综合地、创造性地运用已有的数学知识和思想方法去解决新的、不熟悉的问题的能力。 1．利用知识引入，引导学生确立“问题解决”的观念 观念是原动力。要让学生充分理解人们在日常生活中都自觉不自觉地运用着数学，生活中许多时候需要数学地看问题，体会到数学的发展就源于现实生活的不断发展。 数学教材中几乎每一个新知识的引出，无不源于生活问题的解决需要。我们应充分利用这一资源，突出数学地问题解决的观念，使学生受到潜移默化的教育。 例1：“数”的概念的不断扩展 生活中物体的计数问题 ----→ 自然数 平均分问题 ----→ 分数 相反意义的量的表示问题 ----→ 负数 直角三角形边长问题 ---→ 无理数 例2：平面上的点的位置的确定问题(台风中心、 地震中心、航船在海洋中的地点、剧院的座位等) 的需要，从而引入平面直角坐标系。最简单的， 图1 让学生确定长方形木板上的孔的位置。如图1 例3：从生活中提练出数学原理。有一条n边形的道路，一辆汽车绕此道路跑一圈，此时回到起始的位置，由于只转了一圈，因此它的方向改变总计360°。对三角形来说是360°，对任何多边形都是360°，从而有下列定理成立：“多边形的外角和为360°”。 2．借助学教过程，帮助学生理解“问题解决”的要素 发现问题、解决问题和评价问题是“问题解决”的基本要素。培养学生的问题解决能力，就应逐步让学生养成善于发现问题、提出问题，敢于解决问题、评价问题。课堂学与教的活动过程中，就应强化学生的操作、演练，充分展现数学知识的形成过程，让学生体会数学问题的产生、发展与解决方法。 例1：学“三角形三边的关系”时，让学生用小木棒搭出三角形，其中有长有短，使学生操作中去发现与体会，有时不能围成三角形，有时能组成三角形，引导学生思考原因何在？ 例2：“乘方”概念的建立，采用折纸的方法，把一张纸对折一次有几层？ 对折二次有几层？ 对折三次有几层？对折四次有几层？…… 对折三十次有几层？ (2 2×2 2×2×2 2×2×2×2 …… 2×2×2×2…2×2 ) 怎样用简洁的形式表示这些结果？ () 例3：问题：7个学生面朝南站成一排，(1)若每次准许3个学生向后转，最少转几次，可使7个学生都面朝北？(2)若每次准许4个学生向后转，经过有限次后，能否使7个学生都面朝北？ 可以让学生进行实际试验，再借助数学思维方式来说明。 解：(1)记朝南为“+”，记朝北为“-”。开始时为 ＋＋＋＋＋＋＋ 一次：―――＋＋＋＋ 二次：――――――＋ 三次：＋＋――――― 四次：－＋＋＋――― 五次：――――――― 所转五次没有重复，所以至少要转五次才可使7个学生全部面朝北。 当然，还应要求学生思考其中的符号规律是什么？ （每一次转三人，即改变了三个符号，故每一次的符号之积要改变） （2）利用上面的结论，每次准许4个学生向后转，经过有限次后不可能使7个学生都面朝北。因为，原来是（＋1）7=+1，每次转四人，（－1）4＝1，因此每次转四人后，积的符号不变，不可能为（－1）7＝－1。 3．依托数学应用，指导学生掌握“问题解决”的策略 <<21世纪中国数学教育展望>>中提出了“大众数学”的口号，即：人人学有用的数学，人人掌握数学，不同的人学习不同的数学。其目的就是真正地为用数学而学数学，而不是为学数学而学数学，也不是为考试而学数学。应该让学生在用数学的不同层次中学习，用数学的结论→用数学的方法→用数学的思想，从而掌握各种各样“问题解决”的数学策略。 下面就较基本、较典型、较重要的“合情推理”、“建模”方法、“化归”思想这三种策略作简要的例说。 合情推理-----创新学习的手段 “人类每一次大的成功，都是开始于大胆的猜想”。严格地说来，“论证推理本身(如数学本身那样)并不能产生关于我们周围世界本质上的新知识”，猜想才是非常重要的一个解决问题的方面。而合情推理则是借来为我们的猜想提供依据的，是创新的有效手段。合情推理有试验与归纳、比较与类比、想象与联想、数学直觉。 例1：通过下面的试验而归纳出结论 再学生去验证 而后让学生归纳出一般形式。() 例2：通过类比解决一类问题 教材中有一类求距离、求实物的高而无法直接测量的题目，已知条件分别是仰角、俯角或象限角等条件，表面上互不相干，但通过类比可发现，均可用解直角三角形的方法列出完全相同的方程。（） 例3：通过联想获得解决问题的思路 已知，，，求的值。 分析：此题直接求出和的值再求值是非常复杂的。可联想到已知等式结构与方程是完全相同的，故可由根的定义去构造方程，再利用韦达定理来解。 例4：下题利用数学直觉得答案，再诱发思索 如图，有四个村庄合建一个水厂，为使铺设的水管总长度最省，厂址应选在何处？ 这里学生容易凭感觉找到厂址在P处，但不知为何道理？会引起学生的思维，诱发思索。 若另任取一点（如图5），则 > > > 但这里只能说明水厂到各村庄的距离之和最小。实际上要使水管之和最短，厂址是不确定的，还要结合具体的情况而定。如图6，可在AC上任一点建厂；如图7，则可在BD上的任一点建厂；并且还应比较这两种情况下的长短。 图5 图6 图7 建模方法-----数学应用的桥梁 运用数学解决实际问题是通过数学模型这个桥梁来实现的。我们应在学教过程中逐步渗透这种思想方法，让学生在头脑建立有用的数学模式，以提高学生在日常生活中的分析能力，也更容易地理解、消化抽象的数学知识。建模方法的总体思路如下： 实际问题 数学模型 实际问题解答 数学模型解答 例1：实际中体育活动的单循环比赛的场次问题、团体聚会互相握手的次数问题等都可利用“过任何三点不共线的n个点的连线问题”这一模型来解决。 每一个点都要与其它的点连一条线，共有()条，理论上有条， 但计数中每一条都计算了两次，故总条数为条。 例2：函数模型的应用更是比比皆是。 某商店以50元单价购入服装，销售价为60元时月销售件数为500件。销售价超过60元后，每多1元则销量减少10件。为使每月的毛利润最大，销售单价应定为多少？ 分析：这时销售单价的变化带来毛利润的变化，必然想到函数模型。 解：设应定销售单价为元，则每件利润为元，月销售量为 件 再设每月毛利润为元，那么可得函数为 再由函数的最值求法较易得到解决。 例3：如常见的行程问题应用，要求学生利用直线型图示来建立数学的等量关系；浓度问题应用则可采用表格形式来寻找数量关系。又如两人绕运动场同时从同地出发而首次相遇问题，既可让学生在运动会上观察，也可在课堂上用闹钟来演示，归纳出“快者路程－慢者路程＝1圈”的数学模型，同时也解决了钟表问题。 化归思想-----解决问题的方式 化归思想是数学特有的思维方式。它是指把待解决的问题，通过变换过程，归结到一类已解、易解或可解的问题中去。正如笛卡儿提出的“万能方法”：第一，把任何问题化为数学问题；第二，把任何数学问题化为代数问题；第三，把任何代数问题化为方程求解。这是一个方法论的原则，是解决新问题的一种非常有效的思维方式。具体有很多做法：化繁为简、化高维为低维、化抽象为具体、化非规范问题为规范问题、数形互化、化综合为单一、化一般为特殊等等。 例如初中数学中，常见的面积公式的推导与计算、方程的求解思路就是利用化归思想而形成一个网络。由此可见一斑。 课堂的实验和尝试还在继续，还在不断地摸索与反思，因为我坚信只要我们努力，我们用心，教育的智慧不会离我们太远。
