数学分析教学应注意的几点问题

讲授发展史能使学生了解过去，是为了创造、把握未来，知其然，知其所以然。领略到微积分的产生是数学上的伟大创造，它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。众所周知的积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，微分是联系到对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题而产生的。导数概念被用在经济管理方面，产生了两个极为有用的量：边际函数和弹性，给科学增添了丰富内涵。诸如此类知识的教学引入会使学生们体会到微积分就在我们的身边，它不再抽象、孤立和遥不可及。
同样微积分发展史的教学可以引导学生不仅看到简单到复杂，而且从中听到人类文明的脚步声，从过去走到今天，从低级走向高级，从有限走向无限。
让我们领略一下中国古代数学对微积分创立的贡献，更能激发我们的民族自豪感。在微积分产生三个阶段中的前两阶段——极限概念和求积的无限小方法，中国毫不逊色于西方。微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的。公元前7世纪庄子哲学中就有无限不可分和极限的思想，公元前3世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小、无穷大的定义和极限、瞬时等概念。刘徽公元263年首创的“割圆术”求圆的面积和方锥的体积，它的极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思想的深刻体现。还有很多很多的故事都可以有步骤地进入到学生的脑中，了解这些文化知识非但不能耽误我们学生的学习，反而能给学生的学习增加源动力。“砍柴不计磨刀功”。这些数学史的教育可以改变他们对数学分析的态度，使数学分析成为他们的知己和好朋友，受用一生。数学史的传授可以在课堂中，也可以开专题讲座。我在上大学时我的老师就是这样做的，给我们讲了很多数学家的逸事，使我对数学分析有了更深的理解，因而现在我把这种思想传给我的学生。
三、数学分析的教学是洋溢着数学美的教学，在教学中向学生展示微积分的美，师生共赏数学之美对提高教学质量将是十分有效的
学生们只有认为它是美的，看到它的光环所在，才能喜爱它。正如爱一件物品一样，你认为它是美的才喜爱它，对它有兴趣，而兴趣是最好的老师。正如林群院士在两会期间就科技创新问题接受记者采访时说：“科学创新的必要条件之一是科学家的兴趣。”“指引科学家产生大兴趣还是小兴趣，是从全局考虑还是从细节考虑，是非常重要的。”基于兴趣的重要性，就必须使学生看到数学分析的美。
其实数学的美无处不在，数字美，“一去二三里，烟村四五家，亭台六七座，八九十枝花。”数学公式美，数学思想美，数学语言美。1976年，英国一位著名数学家在就任伦敦数学会主席演讲时说：数学的目的，就是用简单而基本的词汇去尽可能多地解释世界。如果我们积累起来的经验要一代一代传下去的话，我们就必须不断地努力把它们加以简化和统一。过去曾经使成年人感到困惑的问题，在今后的年代里，连孩子们都能容易地理解。这充分体现了数学语言的魅力所在。再看看数学分析的极限，体现了意境美。极限是一个无限的过程，描写极限的文化很多。庄周所著的《庄子》一书中的《天下篇》中，写道“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”三国时期的刘徽在他的《割圆术》中提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”这些都是反映极限思想的佳作。唐代大诗人李白的诗句“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流。”远望那逐渐消逝在碧色天边的孤独的帆影，只有不尽的滚滚长江向东流去。一个“不尽”惟妙惟肖地描写了极限的动态过程。抽象的极限在这里具体生动起来，极限的动态美也使人真正的体会到了。还有诗句“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”等。
无界也是相对来说比较抽象的概念，可诗句“春色满园关不住，一枝红杏出墙来”，生动且贴切地描述了无界变化的状态，无论园子多大，红杏都会出墙，至少有一枝。“四海无闲田，农夫犹饿死”，不管地种得多么多，至少还有一个农夫被饿死。数学分析的和谐、统一美需要细细体会。牛顿——莱布尼茨公式，baf(x)dx=F(b)-F(a),其中f(x)定义［a,b］在上，F(x)是f(x)的一个原函数，也称为微积分的基本定理。将表面上看起来毫无关系的微分和积分之间建起了一座桥梁，将积分的问题转化为求导的逆运算，巧妙地将对立的微分和积分统一起来，可谓“一桥飞架南北，天堑变通途”。数学分析中的微分中值定理，f(b)-f(a)=f′(ζ)(b-a)是一个连接局部性质和整体性质的桥梁。这个定理的左边是整体性的，由区间［a,b］的端点所决定，右边则是局部性的，由区间［a,b］内某点处的导数（局部性）所决定。每一个学习微积分的人，如果不能欣赏这样的美，等于进了宝山之后却空手而归。数学分析的美还不只于此。课堂上如果能使学生体味到美的感觉，我想他们肯定不会倦怠，甚至是睡觉或逃课。

参考文献

〔1〕张奠宙.微积分教学.从冰冷的美丽到火热的思考.高等教学研究，2006.2.

数学分析教学应注意的几点问题.赵淑波,李立伟,王玉文.继续教育研究,2007年第3期

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数学分析教学应注意的几点问题(二)