多空间尺度下顾及不确定性的16方向锥形模型研究

摘要：空间尺度发生变化时，空间数据的不确定性随之变化。本文考虑了由此带来的空间数据不确定性变化，用质心作为参考点，并在16方向模型中添加了不确定度的参数，来适应尺度变化引起的空间关系的变化，并对其进行形式化描述，以更好的描述空间关系，使得方向关系的划分上有个平滑的过渡区，在方向概念的表达上更符合人的认知。
关键词：空间方向关系不确定性多尺度形式化描述

Abstract： When the scale changes, uncertainty of special data is variable accordingly. So considering uncertainty variety of spatial data because of it, this paper introduces centriod as a reference point, and expanded uncertainty parameter changed with variable scales in 16-direction relation cone-shaped model and describes them with formalization. The model partitions the direction relations with smooth transition regions, which accord with percipience on direction concept description.
Key words: cardinal direction relations, uncertainty, multiple spatial-scale, formalization description

复杂性是世界的本质属性，不是简单的线性组合和简单性的表现结果。从简单性中生成，并与其并存。复杂性的描述限定在某一尺度上，离开尺度探究事物的复杂性，则具有无限深度而无法度量。在地学领域，同样涉及这个尺度问题。地理尺度是自然界的复杂性和人类认知和方法上滞后性的差距造成的，是本体论与认知论、方法论之间不可逾越的鸿沟的必然产物，也是数据不确定性产生的根源。
地理信息科学中的比例尺问题迫切需要解决其影响问题。比例尺的误处理和误解会左右推断、解释，最终影响决策制定过程。比例尺会影响地理现象的理解，从而影响一些应用领域制定决策，包括制图、环境政策、全球土地覆盖变化、环境健康。
不同尺度下，空间数据不确定性使得空间关系的表达更具随机性、不精确性、不可分辨性和模糊性等，致使空间关系的描述的不确定性程度随着尺度变化发生着变化。
空间方向关系是空间关系整体理论不可缺少的重要组成部分，和拓扑关系、距离关系一起能更好的描述地理空间，并进行空间推理[1,6,7]。还经常作为空间查询的选取条件和影像相似性评估的标准等用途。
本文对在多尺度下的空间数据参考点进行分析对比，采用比较稳定的质心作为参考点，并对顾及不确定性的16方向关系锥形模型进行形式化描述，以便更好的进行点点方向关系判定，该模型的变量中嵌套着具有多尺度的扩展不确定度的变量，来适应这种多尺度引起的不确定性变化，来更准确的描述空间方向关系。
1. 多尺度下空间数据的不确定性
1.1. 空间数据的不确定性度量
绝对的差异和固定的界限是不存在的,客观世界不断呈现出事物间的普遍联系和相互渗透。不同的地物，在多尺度下表现出不同的形态结构、边界、格局等。
不确定性是客观的、必然的，其程度因物而异，也因尺度而不同。多尺度空间数据的不确定性嵌套着由于尺度变化而带来的不确定性。
不确定性程度因地物而异。在某些空间尺度下人工建筑物具有归整的清晰边界；自然地物如海岸线、地貌地性线等则往往表现出较大的不确定性边界。不确定性也因尺度而不同。在跨越尺度时，边界的不确定性会相应的发生变化。在某尺度下，河流、山谷线、城乡边界等临界线较为模糊，而在另一个尺度下又可能呈现出相对的清晰，其不确定程度发生了变化。
需要做更多的工作进行确定、发展和比较有效的空间/地理统计技术进行评估和描述比例尺影响。研究各类不确定性问题涉及的数学理论有概率和统计理论、模糊数学、信息论、证据理论、粗集理论等。在以往的研究中，对空间数据的精度往往采用误差理论来研究。误差反映了测量结果与真值的差异，但真值无法得到，只可能获知一个最佳估计值，而“真值”是在最佳估计值的一个不确定度范围内。误差不具有现实可操作性。1993年ISO公布的文件(测量不确定度表示指南)代表了当前国际上在表示测量结果及其不确定度时的约定做法，其应用必将对推动科技进步和促进国际交流产生重大影响[3]。
“不确定度”意指不能肯定或有怀疑的程度，是指认识值的分散性，是人们认识不足产生的，建立在现实基础上，具有可实际操作性，是对误差理论的认识深化和发展的结果。所以我们把评定测量结果的质量的方法和体系建立在更为清晰、合理和现实的不确定度的概念上，而不是建立在理想的误差的概念上[3]。
扩展不确定度是定义测量结果区间的量，即被测量的值以某一可能性(即置信水平)落入该区间中。被测量Y以置信水平为P的可能性落在区间[y-U,y+U]。
点目标是GIS中线状目标或多边形组成的基本要素。过去的研究中，点目标的位置误差可以用一种“域”来描述，该“域”可以是误差椭圆，也可以是误差矩形，即点目标对应的x,y向相关系数为零[2]。
由于篇幅的限制，本文是在已知数据的扩展不确定度U（或置信区间半宽）展开研究的，空间点对象的不确定性用一个边长为不确定性矩形来描述。至于不确定度的具体确定方法请参看文献[3]。
1.2. 多尺度下空间数据的不确定性
地物在不同程度上存在着某种自相似性，具有无限复杂、无限细致等，如海岸线、山脉等。地物的长度、大小、面积的量算，是以尺度为依托，离开尺度来研究这些度量值显得没有意义。
由于不同尺度，目标的表现形式并不一样。在大比例尺图中的面对象、线对象在小比例尺图中可能用点对象来表现，当比例尺缩小时，原较大比例尺图上的点可能被删除，合并，移位等。
经多尺度变化后，线面等对象可以用其几何中心或质心等来作为参考点，作为综合分析线面数据的一个参考依据。
几何中心：                 ，                （1）
质心：                  ，               （2）
假设线对象质量均匀分布，则线对象的质心可以写成：
，           （3）
其中：，，
假设在1:5 000比例尺上，某线对象的空间坐标数据为表1：
表1.   1:5 000比例尺下线对象的坐标
Tab.1 given points coordinate of line on 1:1000 scale
点号坐标值(m) 点号坐标值(m) 点号坐标值(m) 点号坐标值(m)
P1 (2841.032, 5146.456) P4
(2861.322, 5200.166) P7 (2925.986, 5248.879) P10
(2951.876, 5148.895)
P2 (2847.032, 5165.026) P5
(2884.076, 5213.765) P8 (2977.653, 5225.756) P11
(29549.126, 5126.904)
P3 (2850.142, 5190.136) P6
(2912.375, 5258.129) P9 (2959.423, 5175.246)

自动简化采用(Douglas and Peucker, 1973)方法，对空间尺度进行变化，可以计算出各尺度下的几何中心和质心坐标。
几何中心和质心以及尺度变化后的几何中心、质心的坐标差分别为表2：

表2.   比例尺变换后线对象的几何坐标及质心变化
Tab. 2 changes of geometrical centers, centroids when scales transforming
1:5 000 1:10 000 1:20 000 1: 25 000 1: 50 000
G几何中心坐标 (2905.8221,
5190.8507) (2910.1829,
5187.1487) (2903.2340,
5193.5243) (2907.0656,
5189.4762) (2921.2965,
5189.3113)
尺度转换后几何中心坐标差  (4.3608,
-3.7020) (-2.5881,
2.6736) (1.2435,
-1.3745) (15.4744,
-1.5395)
质心坐标 (2918.2229,
5203.7107) (2918.4997,
5203.8568) (2919.4648,
5203.8603) (2918.6968,
5204.6926) (2922.4368,
5203.1099)
尺度转换后质心坐标差  (0.2768,
0.1460) (1.2419,
0.1495) (0.4739,
0.9819) (4.2140,
-0.6008)
    经比例尺变化后，线对象的几何中心和质心变化如图2：
不难看出，当尺度发生变化时，几何中心很不稳定，会随着尺度的改变发生很大的变化。相比之下，质心相对比较稳定。这是由于在尺度变化时，组成线面的点变化剧烈，或删减、或移位等，所以对几何中心的影响就会很大，而对于质心，则相对较稳。
在对多尺度数据进行分析时，由于质心相对稳定性，可以作为分析多尺度下空间数据的一个依据。在进行方向关系判断时，用质心代替几何中心，作为评估某对象空间数据不确定性的一个综合指标。这里以对象质心位置在尺度变化前后的变化量与原尺度上质心的扩展不确定度之和作为尺度转化后的对象扩展不确定度。
不确定性不能独立于尺度而单独存在。所以1.1中所提及的是以尺度为变量的函数值。不同的空间尺度会产生不同精度的空间数据；不同的操作算法会出现数据的不同不确定性。
空间数据的不确定性就在尺度的变化下发生着变化。即大尺度上的整体不确定性是由小尺度上众多微小区间不确定性通过某种组合而成的集合。
2. 顾及不确定性的锥形16方向关系描述模型
空间方向关系是空间源目标（Primary Object）相对于参考目标(Reference Object)的指向关系[5]。方向关系描述模型主要分为基于锥形的方向关系描述模型和基于投影的方向关系描述模型两大类[4]。
空间对象之间方向关系的判定所采用的模型不同，会形成不同的方向关系算子集合，目前，方向关系的计算还没有形成个普遍适用的模式。
锥形模型(cone model)最早由Haar(1976)年提出，它以参考对象的质心为原点，用两条相互垂直的线将R2空间划分为4个无限的锥形区域，每个锥形的角平分线分别是东、南、西、北4个主方向。目标对象落在的锥形区域的主方向就是目标对象与参考对象间的方向关系。本文则在其基础上，对其进行改进，来适应尺度变化而引起的空间方向关系变化,并用一个简单的数学模型来进行形式化描述。
定义设D16={ JE-NE, JE-SE, JSE-E, JSE-N, JS-ES, JS-SW, JSW-S, JSW-W, JW-SW, JW-NW, JNW-W,JNW-N, JN-NW, JN-NE, JNE-N, JNE-E, JE, JE-JSE, JSE, JS-JSE, JS, JS-JSW, JSW, JW-JSW, JW, JW-JNW, JNW, JN-JNW, JN, JN-JNE, JNE, JE-JNE,O}表示方向关系的符号集合，其中E-L, E-R, SE-L等分别表示东偏左、东偏右、东南偏左等16个方向区域, JE, JE-JSE, JSE等分别表示正东，正东偏正东南,正东南等16个方向临界值，表示两两相邻方向的不确定性区域，O是表示目标对象的点和参考对象点不确定性重叠，用“同位”方向关系的符号表示其方向。对象A(参照对象)与B(源对象)的方向关系可表示为四元函数，其中∈ D16。
在传统GIS空间方向关系研究中，并没有考虑数据不确定性引起的空间方向变化。本文考虑了多尺度的不确定性，则定义域为:
,



(由于，，，)
    ，

分别表示对象A，对象B在x，y轴上的不确定性度量值。它可以随着尺度的变化而变化。和观测尺度、模拟分析尺度密切相关，当模拟分析尺度越大（或比例尺越小、空间分辨率就越小）则U越大。观测尺度也同样影响着U的大小。不同方向的不确定性也就在方向边界区域得以体现。
该函数的定义域和值域表述以及相应的空间方向关系为图3所示：

该数学模型可以判定16个方向和各方向的16条临界线。函数变量与相应的方向如表3：
表3 16方向锥形模型中函数变量值和相对应的方向
Tab.3 function variable values and represented directions of developed 16-direction cone-shaped model of cardinal directions
函数变量所代表的方向函数变量所代表的方向
(+,+,+,+) (+,0,+,+) (+,-,+,+)
东正东偏东北 (-,-,+,+) (-,0,+,+) (-,+,+,+)
西正西偏西南
  正东   正西
  正东偏东南   正西偏西北
(+,-,+,0) 东、东南的临界值 (-,+,+,0) 西、西北的临界值
(+,-,+,-) (+,-,0,0) (+,-,-,+)
东南正东南偏东 (-,+,+,-) (-,+,0,0) (-,+,-,+)
西北正西北偏西
  正东南   正西北
  正东南偏西   正西北偏北
(+,-,-,0) 南、东南的临界值 (-,+,-,0) 北、西北的临界值
(+,-,-,-) (0,-,-,-) (-,-,-,-)
南正南偏东南 (-,+,-,-) (0,+,-,-) (+,+,-,-)
北正北偏西北
  正南   正北
  正南偏西南   正北偏东北
(-,-,-,0) 南、西南的临界值 (+,+,-,0) 北、东北的临界值
(-,-,-,+) (-,-,0,0) (-,-,+,-)
西南正西南偏南 (+,+,-,+) (+,+,0,0) (+,+,+,-)
东北正东北偏北
  正西南   正东北
  正西南偏西   正东北偏东
(-,-,+,0) 西、西南的临界值 (+,+,+, 0) 东、东北的临界值
(0, 0,0, 0) 同位

3. 应用举例
假设在空间尺度的变化下，空间面对象相对于线对象的空间方向进行16方向的定性描述。则可以应用以上数学模型进行判定。原始数据为1:5 000下的线面数据，经过操作分析尺度变化后，分别可得到1:10 000，1:20 000，1:25 000，1:50 000的数据。
3.1. 点与点的方向
方向关系描述模型通常将空间目标的表示限制为一个点,本文对于区域目标和线目标使用目标的质心，而不是采用随尺度变化而剧烈变化的几何中心来表示目标。
则面对象相对于线对象的方向关系用其各自质点间的方向关系来替代，判定如下：

具体计算结果如下表4：
表4 16方向锥形模型中函数变量值和相对应的方向
Tab.4 function variable values and represented directions of 16-direction cone-shaped model of cardinal relations
1:5 000(m) 1:10 000(m) 1:20 000(m) 1:25 000(m) 1:50 000(m)
线对象质心坐标(xa,ya) (3118.2229,
5378.7107) (3118.4997,
5378.8567) (3119.4648,
5378.8603) (3118.6968,
5379.6926) (3122.4368,
5378.1099)
面对象质心坐标(xb,yb) (3274.8583,
5555.2074) (3274.7719,
5555.2173) (3274.6851,
5555.5011) (3273.2690,
5555.9401) (3276.1313,
5556.2208)
两质心坐标差(,) (156.6354,
176.4967) (156.2722,
176.3606) (155.2203,
176.6408) (154.5722,
176.2474) (153.6944,
178.1108)
-111.6162 -111.6305 -112.3464 -112.2215 -114.4485
201.6546 200.9139 198.0941 196.9228 192.9403
0.05 0.3268 1.2919 0.5239 4.2640
0.05 0.1364 0.2232 1.6393 1.3230
0.05 0.1960 0.1995 1.0319 0.6508
0.05 0.0598 0.3437 0.7827 1.0633
0.1414 0.4124 1.1847 3.0664 4.4221
0.2000 0.7190 2.0583 3.9778 7.3011
0.3414 1.4564 4.1675 6.1780 14.2517
函数值 (+,+,－,+) (+,+,－,+) (+,+,－,+) (+,+,－,+) (+,+,－,+)
方向东北东北东北东北东北

由于不同比例尺对目标描述的细致程度有所不同,在小比例尺图中可以用一个抽象点表示的目标,在大比例尺空间,则用一个面表示。在不同比例尺之间进行方向对比时，用质心点表示一个空间目标,建立点与点间的方向关系描述模型有一定的意义。
3.2. 按比例法对线面的方向判定
将空间目标的表示限制为一个点，用质心表示目标，从一定程度上忽略了目标的大小和形状对方向关系描述的影响。在大比例尺图中，应充分考虑目标对象的大小和形状的影响,更细致、准确地描述方向关系，则对线线、线面、面面等的方向关系的判定，可以采用比例法等。应用以上数据，源对象B相对于参考对象A的方向为：
表5. 线面对象间的锥形模型方向关系
Tab.5 cone-shaped model of cardinal relations between lines and areas
面积(m2)及所占比率 1:5 000 1:10 000 1:20 000 1:25 000 1:50 000
正北偏东北 42.4944 32.2487 18.5956 1.4412 0
0.25% 0.19% 0.11% 0.01% 0
北、东北的临界不确定性区域 8.7278 38.3336 139.5029 181.1077 550.8213
0.05% 0.23% 0.83% 1.14% 3.91%
正东北偏北 8699.7580 8648.6273 8681.9504 8081.4250 6757.4885
51.48% 50.98% 51.47% 50.91% 47.97%
正东北临界不确定性区域 32.7905 117.9468 338.9728 609.6042 968.7947
0.19% 0.70% 2.01% 3.84% 6.88%
正东北偏东 8015.2845 8020.1934 7630.3617 6913.8542 5767.7208
47.43% 47.28% 45.23% 43.55% 40.94%
东、东北的临界不确定性区域 2.5764 7.8152 12.1203 35.5927 29.4959
0.02% 0.05% 0.07% 0.22% 0.21%
正东偏东北 96.7474 98.4458 46.9044 51.3223 13.7496
0.57% 0.58% 0.28% 0.32% 0.10%

不难发现，方向关系随着尺度的变化而发生变化。不同比例尺对目标描述的细致程度有所不同,以及在数据分析处理等造成的，这直接影响着方向关系的准确判定。尺度效应就需要用不同尺度下的不确定性对数据进行评估。
该模型可以结合投影方向模型，尤其当两对象很接近，源对象一部分包含在最小外接矩形内，这时可以使用该锥形模型来更为准确的描述空间方向关系。
4. 结束语
在过去的研究中，方向区域划分都是一种精确的划分方式。该方式在相邻的方向区域之间人为设置了一个跳跃。该顾及不确定性的方向区域的描述模型中，使得方向关系的划分上有个平滑的过渡区，在方向概念的表达上更符合人的认知。
以往研究位置的不确定性一直采用误差理论，这有其自身局限性，根据国际标准化组织公布的《测量不确定度表示指南》，本文引入扩展不确定度的概念，具有现实可操作性。
16方向锥形模型在定性描述方向关系时更为细致，对于空间推理等有着重要的作用。针对多尺度下空间数据的不确定性特点，对16方向锥形模型进行研究。当尺度发生变化时，空间数据的不确定性随之变化，这种由空间尺度变化带来的空间数据不确定性变化，对多尺度下的对象空间数据参考点进行分析对比，提出用质心代替几何中心，来减小参考点的不确定性程度，并在模型中添加了随尺度变化而变化的扩展不确定度参数，对空间方向关系进行形式化描述，来适应尺度变化引起的空间关系的变化，以更准确的描述空间方向关系。

参考文献
杨珺,定性空间推理与空间方向关系研究,2005,硕士论文，重庆大学.
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