选题的背景与意义： 人们对微分中值定理的研究，大约经历了二百多年的时间，从费马定理开始，经历了从特殊到一般，从直观到抽象，从强条件到弱条件的发展阶段[1]。人们正是在这一发展的过程中，逐渐认识到微分中值定理的普遍性。 古希腊数学家在几何研究中得到如下结论：“过弓形抛物线的顶点的切线必平行于弓形抛物线的底”。这正是拉格朗日定理的特殊情况。意大利卡瓦列里(Cavalieri) 在《不可分量几何学》的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实[2]： 曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦。这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理。 人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了。1637年,法国著名数学家费马(Fermat)给出费马定理[3]，1691年，法国数学家罗尔(Rolle) 在一文中给出多项式形式的罗尔定理[4]。1797年，法国数学家拉格朗日在一书中给出拉格朗日定理[5],并给出最初的证明。对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy) ,他首先赋予微分中值定理以重要作用，使其成为微分学的核心定理。柯西首先严格地证明了拉格朗日定理[6]，又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理。从而发现了最后一个微分中值定理。 函数与其导数是两个不同的的函数；而导数只是反映函数在一点的局部特征；如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理正是起到这种作用。微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理及泰勒公式，是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的重要工具。以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的理论基础。拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态；中值定理的主要作用在于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则。中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数上升，下降，取极值，凹形，凸形和拐点等项的重要性态。从而能把握住函数图象的各种几何特征。在极值问题上也有重要的实际应用。因此，研究微分中值定理的应用与技巧，有着十分重要的现实意义。 在精心准备各类数学考试，尤其是备战考研的过程中，许多同学和我都有同样的感受，发现微分中值定理这一章是微积分的重点及难点。通常都有这样的感受：即使数学基础扎实的同学在做了大量的习题之后，如果没有及时的总结归纳，依然会感到很困惑，总感到不能达到融会贯通。究其原因，这当然与微分中值定理在微分学中的特殊地位有关，微分中值定理是微积分的理论基础和核心，是构通导数与函数之间的桥梁。因其灵活多变，在不同的区间需运用不同的中值定理，同时能与闭区间上的函数性质相结合，有时需要构造辅助函数方能解题，而构造辅助函数的方法同样灵活多变，因而考查的知识面相当广。 在漫长的考研过程中，对微分中值定理的复习与研究花费了诸多的精力。对于解中值类题目也积累了一些经验，对微分中值定理也有了更深一步的理解。因而特别希望有个机会能对微分中值定理的应用与技巧进行梳理与总结。 此次论文，参阅了大量资料，发现有些许多期刊论文对于微分中值定理的挖掘不够深；许多对例题的讲解也没有分析，只有解答而已，因而不能做到启迪读者的作用。[8]中给出了微分中值定理相互间的关系，但欠缺相互推导的证明。[9]很好的弥补了这一点，同时给出了在理论推广中的应用。[10][11]中都讲到了微分中值定理的应用，美中不足的是没用给例题的分析及技巧应用，使读者不能深切明白微分中值定理的奥秘。 因而本次论文力求在前人的基础上[7-11]有所突破，在总结他人解题方法的同时，加入自已的理解，力求创新，希望通过自已的努力，加深对这块内容理解的同时，给他人有所帮助。对于自已而言，这将是非常有意义的一件事，在整理自已所学的同时，考查自已整合资源及归纳总结的能力。
二、研究的基本内容与拟解决的主要问题：
微分中值定理，是微分学的核心定理，是研究函数的重要工具，是沟通函数与导数之间的重要桥梁，为了突出微分中值定理的核心作用，突出其在实际应用中的作用与技巧，论文主要对微分中值定理在证明题中的几大类型进行探讨。因而研究的基本内容与拟解决的主要问题目如下：
1 闭区间上连续函数命题的证明 ； 2 形如“在内至少存在，使得某个代数式成立”； 3 形如：在上至少存在一点，使得或由,,,,,,,...,所构成的等式成立； 4 利用微分中值定理的技巧证明不等式； 5 辅助函数的构造方法与技巧。
三、研究的方法与技术路线： 微分中值定理包含了费尔马定理，罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理及泰勒公式，当然单单运用某个定理来解题是不够的，还需灵活及综合地运用闭区间上连续函数的性质，如有界性，最值定理，介值定理，零值定理等，从而体现微分中值定理在应用中的技巧。 综合以上性质及定理，结合自已对微分中值定理的理解及解题经验，参考有关文献，以解答考研数学中核心题型的方式，始终抓住函数与导数间的联系，探讨微分中值定理的应用与技巧，探讨在什么区间上该使用什么微分中值定理，研究如何寻找到最适合解题的辅助函数。
四、研究的总体安排与进度： 时 间 毕业设计（论文）工作内容 2010年1月16日～2010年1月20日 制定任务书 2010年1月21日～2010年3月13日 查找文献，写好文献综述和开题报告 2010年3月14日～2010年3月26日 熟悉中值定理的应用及技巧，做初步设计，制定具体的技术路线 2010年3月27日～ 2010年5月14日 整理所有的资料，撰写论文 2010年5月15日～2010年6月5日 修改论文并定稿
五、主要参考文献：
[1] 卢玉峰.微分中值定理历史与发展[J].高等数学研究.2008.11 [2] 卡瓦列里(Cavalieri).不可分量几何学[M].1635 [3] 费马(Fermat).求最大值和最小值的方法[M].1637 [4] 罗尔(Rolle).方程的解法[M].1691 [5] 拉格朗日.解析函数论[M].1797 [6] 柯西(Cauchy).无穷小计算教程概论[Ｍ]．1823 [7] 刘章辉.微分中值定理及其应用[J].山西大同大学学报(自然科学版).2007.10 [8] 郭朋贵.微分中值定理在理论推导中的应用[J].高等函授学报（自然科学版）.2006 [9] 李洪沛.微分中值定理证题的技巧分析[J].商丘职业技术学院学报2005(2) [10] 王振林.浅谈微分中值定理的应用[J].太原科技.2001(4) [11] LU Chun-ming.Extension of Differential Median Theorem[J].Journal of Shenyang Agricultural University 2003(3).
