从集合论的观点看中学数学中的概念和问题

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从集合论的观点看中学数学中的概念和问题
【摘 要】：集合论是中学数学，乃至整个数学的理论基础．其他数学概念，诸如整数、有理数、实数、几何图形、函数、代数、运算、微积分等，都可以用集合论的理论、方法和语言加以表述。
【关键词】：集合论的理论与方法   表述 中学代数 几何
 19世纪70年代Cantor创立的集合论，虽然在上世纪末已被数学家广泛接受，并用它作为构筑整个数学大厦的基础，但是它本身却是用说明的方式建立的，未被严格理论化，因此被后人称为“朴素”的集合论．尽管如此，在我们中学数学教科书或一般高等数学(非数学基础学科)书中所讲、所用的集合论知识，正是这种朴素的集合论．
  从集合论的观点来看，中学代数主要研究数集的扩张、运算和变换．解方程(或不等式)f(x)= 0(≥0)，就是要求得与由命题形式给出的集合｛x|f(x)=0(≥0)｝相等的具体数集(指明它的元素是哪些数)．解n元方程组，则是要求得笛卡儿积Rn的一个具体子集，使等于由命题给出的集合．
中学几何，则主要研究作为平面和空间点集的几何图形．几何图形的性质，可以归结为相应点集之间关系的研究．几何图形的运动和变换，可以从相应集合的运算来考察．通过建立坐标系，把解方程与求曲线交点这两类问题对应起来，沟通了点集与有序数组之间的联系，把点集与数(对)集统一起来．
不少数学证明题可以归结为：由前提和结论所确定的两个集合相等或包含关系的判定．集合论为求解和证明数学题提供了简明的表达方式．
下面举出若干实例来说明这一点．
Ⅰ．关于几何图形
中学平面几何和立体几何中一些基本几何图形，如线段、圆、球等，都是作为一个整体图形来看的．从它们传统的定义中，很难明确指出它们的各个部分究竟是什么，以致一些中学生分不清线段AB和它的长度|AB| ，圆与圆周，球和球面等．如果用集合论的方法和语言来表述这些图形，把它们看作是满足某些条件的点的集合．就会弄清楚这些图形究竟包括哪些点．
 以O点为圆心、以r 为半径的圆，是集合
⊙(O，r)＝ ｛P｜｜ OP｜≤r｝
而这个圆的圆周是集合｛P｜｜OP｜=r｝．
这样，就把圆和圆周这两个概念严格区分开来了．
线段AB，可表示为点集
AB＝｛M||AM＋|MB|=|AB|｝
角∠AOB，可视为由从点O出发的两条射线OA、OB，以及平面被它们划分开的两部分之一的所有点构成的集合．图2—2(a)与(b)中的两个角，虽然它们的顶点和边相同，但却是完全不同的角．

Ⅱ．关于几何题的证明
几何中性质命题“若A，则B”，可理解为“具有性质A的某(些)几何元素，是具有性质B的几何元素”．
 如果令几何元素(点、直线、图形)x的集合
A=｛x|A(x)｝，B=｛x|B(x)｝

下面我们用这种观点来说明几何证明中“同一法”的理论依据．
对于性质命题“若A，则B”，如果集合A=｛x| A(x)｝是单元素集，即具有性质A的几何元素只有一个，就说该命题符合“同一法则”．符合同一法则的几何命题，可以用同一法给以间接证明，其证明的步骤有三：
1° 找出一个几何元素F′∈B(即作出具有性质B的图形F′)；
2° 证明F′∈A(即F′也具有性质A)；

这样，运用同一法的前提条件、证明步骤，都有了充分的理论依据，以前关于同一法则和同一法的一些模糊提法，也得到了澄清．
Ⅲ．抽屉原理