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从一道不等式题的证明谈学生创新能力的培养 【摘要】 不等式是研究数学问题的重要工具，是培养学生论证能力的重要内容。它渗透在高中数学的各个部分，尤其是与函数、复数、三角和几何存在着密切的关系。不等式是数学思想的载体，突出体现了等价转化，函数与方程、分类讨论、数形结合等数学思想。本文从一道不等式题的多种证法，引导学生从不同角度，用不同的思维方法解决问题。大大的激发了学生的学习热情，从而培养了学生的创造性思维。 【关键词】不等式 证明 培养 创新能力 培养 问题：a、b、m∈R+ 且a＜b，求证：＞ （方法一）证明：比差法：差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b”。其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。 左-右=-== ① ∵a＜b，a、b、m∈R+ ∴ m（b-a）＞0 b（b+m）＞0 ∴①＞0 即不等式成立 证法二：比商法，商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b”。其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。 左/右= ∵ 0＜a＜b ， 0＜m ma ＜ mb ma+ab＜mb+ab ＞1 ∴ 左/右＞1，即左＞右 ∴ 原不等式成立 证法三：分析法: 分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。书写的模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题B1为真，从而有…，这只需证明B2为真，从而又有…，……这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真。这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。 ∵a、b、m∈R+ ， 要证明 ＞ ， 只要证 b（a+m）＞a（b+m） 即证 ab+mb＞ab+am 即证mb ＞ma 即证 b＞a 显然成立，∴ 原不等式成立 证法四：综合法 综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：AB1 B2 B3… BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。 ∵ 0＜a＜b， 0＜m ∴ma ＜ mb ∴ ma+ab＜mb+ab ∴ a(b+m) ＜b(a+m) ∴ ＞ ∴原不等式成立 证法五：反证法 反证法有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。 假设不大于，即 ≤ （1） ＜ b(a+m) ＜a(b+m) mb+ab ＜ma+abmb＜mab＜a 同理可由=b=a 与已知 a＜b 矛盾 ∴原不等式成立 证法六：换元法换元法换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。 设=k则a=kb 又∵a、b、m∈R+ 且a＜b ∴0＜＜1即0＜k＜1 ∴＞1 ＞m 则有b+＞b+m＞1 即＞k= 证法七：函数法（利用函数的单调性） 设f（x）= （分离常数法） ∵ 0＜a＜b ∴a-b ＜0 ∴f（x）在[-b，+]上是增函数， 即当x=m＞0时f（m）＞f（0）， ∴＞ 证法八：等比定理： ∵a、b、m∈R+ ，设=（n∈R+） 又∵ a＜b ∴n＜m 即 ==＜ 说明：对于等式两边是分式时，等比定理往往是解决这一问题的一个很好的方法。 证法九：斜率法 （1）将看作直角坐标系内两点A（-m，-m） ，B（b，a） ∵ 0＜a＜b ， 0＜m B点位于第一象限内y=x的直线上方。 ∴ KAB＞KOB 又 ∵KAB= KOB = ∴＞ （2）取任意点A（m，m），B（b，a） a＜b ∴AB的中点C（） 由OA、OB、OC斜率关系为KOB＜KOC＜KOA 故得＜＜1 证法十：定比分点 ∵ = ①
