对教参中位似图形判定的质疑周孟波

对教参中位似图形判定的质疑周孟波
在上浙教版九年级上册第四章《图形的位似》这一节数学教学课过程中，当学生学习了位似图形的定义后，让学生来判断如图放置的两个正方形是否是位似图形，在课堂上学生出现了争论，一些同学认为这两个正方形不是位似图形，其理由是：通过画图，这两个正文形的对应顶点A和E，B和F，C和G，D和H的连线没有经过同一个点，而另一些同学经过准确作图后得出这两个图形是位似图形。笔者认为第二种说法是正确的，但从教参中的参考答案以及教科书中后面的一些内容认为这两个图形不是位似图形，于是就把这个内容让学生下课后自己去探索。自己下课后也与部分教师交流一下自己的看法。下面是笔者对这些内容的一些质疑，如有不到之处，希望大家指教。
在教材中，位似图形的定义是这样的：如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形。笔者认为教材中对位似图形的判定是不恰当的，主要有以下两点原因：
一、教材中所有的位似图形只是验证了对应顶点的连线交于一点。这里默认了这样一个结论：两个相似图形的对应顶点的连线交于一点，则这两个图形是位似图形。实际上，这个结论是错误的。例如：如图,在△ABC中，∠ACD=∠ABC，则有△ABC∽△ACD，并且对应顶点A与A，B与C，C与D的连线交与一点C，但它们显然不是位似图形。在这里忽略了位似图形定义中：“每组对应点所在的直线都交于一点”其中的每组对应点。事实上，位似图形的对应点不是单纯的几组对应顶点，而是无数组对应点。教材中的练习题非常容易误导学生只用对应顶点的所在直线是否交于一点，来判断是否是位似图形。
二、教材中对位似图形的判定只能根据定义作图得出，但在实际操作过程中存在着误差，导致教参和一些学生得出了错误的结论。
从以上两点可以看出，由于我们很难去验证无数对应点所在直线是否交于一点，而且在作图过程中存在误差，因此利用位似图形的定义来判定是否是位似图形很困难。
为了解决上述难题，我们可以从教材出发，不难得出位似图形的性质：位似图形的对应线段平行或在同一条直线上。那么它的逆命题是否成立呢？此结论好象是正确的，但从下图看，它仍有缺陷：△ABC≌△DEF，AB∥DE，BC∥EF，AC∥DF。此时对应顶点所在直线互相平行，它们又不是位似图形。因此；判定位似图形可用下面的方法：“如果两个相似图形的对应线段平行或在同一条直线上，且对应点所在的直线不平行（相交或在同一直线上），那么这两个图形就是位似图形。”简单证明如下：
如图：多边形AA…A∽多边形BB…B，A1和B1是对应点，…A和B是对应点，且AA∥BB，…AA∥BB，设AB，AB交于点O，AB，AB交于点O
∴，，=
∴.
∴即.
又∵点O和O在直线AB上，且在点B的同侧.
∴点O和O重合.
同理可证直线AB，…AB以及所有对应点的连线都通过点O.
∴多边形AA…A和多边形BB…B是以O为位似中心的位似图形。
在利用上述方法来判定位似图形时，还要注意到下面的特殊例子：当两个图形是全等的中心对称图时，如在矩形ABCD和矩形EFGH中AB=EF，BC=FG，AB∥EF，BC∥FG，CD∥GH，DA∥HE，可知两个矩形相似，如果选择A与E、B与F、C与G、D与H为对应点那么它们所在的直线互相平行，此时不能说，两个矩形不是位似图形。因为如果A与G、B与H、C与E、D与F对应，那么它们就是位似图形。
因此从初中学生的认识水平、理解水平出发，笔者建议位似图形部分增加一个位似图形的性质：“位似图形的对应线段平行或在同一条直线上。”和一个位似图形判定方法：“如果两个相似图形的对应线段平行，且对应点所在的直线不平行，那么这两个图形是位似图形。”

对教参中位似图形判定的质疑 周孟波

对教参中位似图形判定的质疑周孟波