眼科病床合理安排[建模竞赛](二)

5.3.3模型一求解

我们根据题目中给定的2008年7月13日至2008年9月11前来门诊的各类病人信息，利用我们建立的模型一，重新安排病人住院，得到了一份类似题目附录中给定的病人信息，详细信息见附录表8。

根据表8中的相关信息，我们同样对其进行统计分析，得到如下数据：

表9：各类病人就医平均时间

从表8中，我们可以看到，利用模型一来进行病床分配后，截止2008年9月11日，这61天里前来门诊的病人已经有382人出院，等待住院的病人人数为69人。

5.3.4对模型一的评价

现在，我们来利用评价指标体系对模型一的结果进行评价。

根据统计数据，我们可以得出，在2008年7月13日到2008年8月7日这61天时间里，一共有382个病人出院，由此我们可以算出平均病床周转次数。对于等待住院的病人队列，我们同样只取2008年9月11日时的人数来表示这个队列长度，即为69人。我们将每天的等待住院病人队列长度值在MATLAB7.0软件上进行三次曲线拟和，得到其变化趋势图形。

各指标值如下：

平均病床周转次数：

病人平均等待时间，见下表6：

表10：各类病人平均等待时间

等待住院病人队列长度：

等待住院病人队列变化趋势，见下图2：

图2：模型二下等待住院病人队列变化趋势

由评价结果，我们可以看出，如果医院采用我们的的病床安排模型一对病床进行分配，等待住院的病人队列变化会呈现下降趋势，住院病人的等待队列长度会相应减小。按照这个趋势发展下去，医院的病人等待队列越来越长的问题将得到较好缓解乃至解决，2008年9月11日这一天的病人等待队列长度为69人。因此，我们认为模型二的病床分配模型是比较合理的。

5.4两种模型的评价结果比较

为了更好的说明我们所建立的病床分配模型的优越性，我们来对上述两种模型的评价结果进行比较分析，见下表11。

表11：医院当前采用模型与模型一的评价结果比较

由上表11可以看出，相对于医院目前所采用的病床安排模型而言，我们所建立的病床安排模型一，除了视网膜病人的平均等待时间略有上升外（由平12.54天变为13.94天），而其相差也只有一天左右，我们认为这是可以接受的。至于其他各项指标，模型二的评价结果均远远优于医院当前所采用的模型。平均病床周转次数由0.0724上升到0.0793，青光眼病人的平均等待时间减少了一天左右，白内障病人（包括做单眼和做双眼手术的病人）的平均等待时间减少了4天左右，在2008年9月11日这一天，等待住院的病人队列长度由原先的102人减少到69人。另外，从等待住院的病人队列变化趋势来看，医院当前所采用的模型会导致病人等待住院的队列越来越长，而由我们的模型一对病床进行安排后，病人等待住院的队列将逐渐减小。

从上述两种模型的对比分析中，我们可以很清楚的看到模型一的优越性，同时，从模型一的评价结果看来，病人等待住院的队列在逐渐减小，从具体等待队列的长度来看，在2008年9月11日，这个队列长度为69人，与医院当前具体情况的102人相比，减少了33人，减少比率为32.35%。

通过以上具体的数据分析，我们的模型一可以较好的解决医院目前的问题，即减少病人住院等待队列的长度。

5.5根据门诊时间确定住院时间区间（针对问题三）

我们利用表8中的病人信息，取后一个月的医院门诊人数和出院人数作统计。我们发现，在我们的模型运行一段时间后，系统基本上趋于稳定。总体的门诊人数和出院人数大体上趋于平衡,如图3所示。所以，采用模型一来进行病床分配，一段时间后等待住院的病人队列将基本上保持在一个相对稳定的状态。

图3：门诊人数与出院人数关系

我们再取表8中8月11号（序号为30）到8月31号（序号为50）的数据来进行统计分析，得出各类疾病每天对应的病人等待入院队列长度和该类病人的平均等待时间，如表12所示。

表12：各类病人等待时间与列长

其中，空格表示该天没有该类病人前来门诊。

通过分析，我们发现外伤的等待时间都是1天，而随着各类病人等待住院队列长度的不同和总队列的队长不同，视网膜疾病，青光眼，白内障单眼的等待时间基本上都趋于稳定，大致分布在区间（10，15），（7，12），（4，8）内。

我们发现白内障双眼的等待时间波动性很大，因为该类病人的等待时间还与星期有关，主要原因是白内障双眼的手术时间只能是星期一，星期三。为了减少队列长度，依据我们的模型，在安排白内障双眼病人时优先在星期六进行安排，所以白内障双眼病人的住院时间基本上都安排在星期六。

所以，在预知白内障双眼病人的大致入住时间区让时，不但要依据等待住院病人的统计情况，还需要根据当时的星期值来大致判断其入住时间，我们用公式表示如下：

其中，表示门诊当天星期值，表示白内障双眼的等待人数，表示等待时间。

则我们可以根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，告知其大致的入住时间区间：

1. 外伤：1天；

2. 视网膜疾病：（10，15）天；

3. 青光眼：（7，12）天；

4. 白内障单眼：（4，8）天；

5. 白内障双眼：

其中，表示门诊当天星期值（例时表示星期一），表示白内障双眼的等待人数，表示等待时间。

5.6手术时间安排的调整（针对问题四）

在该住院部周六、周日不安排手术的情况下，我们根据模型一来重新对病床进行分配，完成了对病人入院时间的重新安排。我们将每天的等待住院病人队列长度值在MATLAB7.0软件上进行三次曲线拟和，得到其变化趋势图形。

图4：问题四中等待入院病人队列变化趋势

与问题二中所得到的结果相比较，在该住院部周六、周日不安排手术的情况下，病人等待队列长度变大，且有逐渐上升的趋势。

我们用评价指标体系来对这种情况下的病床分配模型进行评价，各指标值如下：

平均病床周转次数：

病人平均等待时间，见下表13：

表13：各类病人平均等待时间

等待住院病人队列长度：。

我们发现，当住院部周六、周日不安排手术时，模型一的分配结果并不理想，在2008年9月11日，等待队列为127人，等待入院的病人队列同样样会越来越长。

分析出现该种情况的原因，当住院部周六、周日不安排手术时，由于术前准备时间的约束，导致每周四、周五的时候，即使住院部有空病床，除了外伤病人外无法安排其他病人入院，造成医院病床资源的浪费，这是应该避免的情况。而到了每周六、周日的时候，又会出现入院“拥挤”的状况，使得部分病人的等待时间相对于问题二中要长。

由此可以判定，在我们建立的病床安排模型一下，如果该住院部周六、周日不安排手术，需要对医院的手术时间安排作出相应调整。

为避免病床资源浪费以及入院“拥挤”的现象，我们认为最简单方便的手术时间调整方案，是将白内障病人的手术时间由原来的每周一、周三调整到每周三、周五，即如果要做白内障双眼手术，则周三先做一只，周五再做另一只。这样便能避免在某一天出现大量空病床，却无法安排外伤病人之外的病人入院。

调整方案：将白内障病人的手术时间由原来的每周一、周三调整到每周三、周五。

5.7平均逗留时间最短的病床比例分配模型的建立与求解（针对问题五）

 依据建议，医院可以将总数为79的病床，按照各类病人占用病床的比例来大致进行固定分配。在这种方案下，我们可以把病床安排问题等效看作是多服务台排队问题。其中病床可以表示为服务台，每天前来就诊的病人数可以表示为顾客到达率，各类病人平均住院时间的倒数可以表示为每个服务台的平均服务率。这样，我们就可以利用多服务台排队系统来对问题五进行求解。

5.7.1多服务台排队系统相关知识[2]

在多服务台排队系统中，服务台用表示，系统内顾客数为，顾客的平均到达率为常数，每个服务台的平均服务率是相同的，且规定各服务台的工作是相互独立的。

对于整个服务机构来说，其平均服务率与系统状态有关，可表示如下：

为了使系统不会排成无限队列，需要使服务强度。

在分析这个排队系统时，仍然从状态间的转移关系开始，其状态平衡方程为

由以上差分方程可求得，

系统的队列长度期望值可以求得，如下所示：

由李特尔公式[3]即可求出队长期望值，期望等待时间和期望逗留时间。

综合上述结果，我们可以把系统的主要绩效测度指标归纳如下：

5.7.2模型二建立

我们可以采用上述多服务台排队系统模型来解决问题五。

我们假定五类病人的服务台数分别为，分别对应其分配到的病床数；我们用顾客到达率来表示五类病人每天前来就诊的人数；用五类病人的平均住院时间的倒数来表示每个服务台的平均服务率。

则期望逗留时间可以表示如下：

根据题目中给定的2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况，我们可以得出下列数据，见表12。

表14：各类病人服务系统值

其中，表示各类病人每天前来就诊的人数；各类病人的平均住院时间的倒数；表示各类病人在这段时间里前来就诊的总人数。

题目要求建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（包含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型，则我们可以把平均逗留时间作为目标函数，建立起如下病床优化分配模型：

5.7.3模型二求解

我们利用MATLAB7.0软件对上述模型进行编程求解，得到如下结果，见表10：

表15：五类疾病病床分配比例

病人在系统内的平均逗留时间最短为13.92天。

6．模型优缺点

6.1模型优点：

1. 我们综合考虑医院和病人的利益，确定出了合理的评价指标体系，能够客观合理的评价病床安排模型的优劣；

2. 在模型一里，我们采用改进的优先非抢占排队思想对病床进行分配，具有创新性，且得出了较好的结果，能够解决该医院等待住院病人队列越来越长的问题；

3. 我们对比分析了模型一与医院当前所采用的病床安排模型的评价结果，突出显示了模型一的优势；

4. 对于问题四，我们所提出的手术时间调整方案简单，易于实施。

6.2模型缺点：

1. 我们没有对模型一进行模拟仿真；

2. 在解答问题四时，我们没有求证出最优的手术时间调整方案。

7.模型的改进与推广

7.1模型的改进

对于问题二，我们所采取的病床安排规则是根据各类病人的优先级高低来进行的，同时，随着病人等待时间的增加，他们的优先度值在逐渐减少，相对应的优先级逐渐升高。而在这种情况下，就有可能出现在同一天里属于不同类型的病人有着相同的优先度，这就可能导致优化目标取得最优值时，其所对应的具体病床分配情况有多种可行解。由于时间问题，我们未能求出另外的可行方案。不过，对于这种情况，我们想到了一种评价方案，来对这些可能存在的不同可行解进行评判。

在考虑病床分配评价指标体系时，我们分别从医院角度和病人角度进行了评价指标的选定，然而，我们没有从医生的角度来进行考虑。因为医生每天所能进行的手术数量是有限的，所能承受的工作强度也是有限的。同样，通常来说，人们在工作时，会比较倾向于每天的工作强度大致均衡，而不太希望所从事的工作每天的工作强度差距太大，否则，他们对于工作的满意度也会下降，工作热情会随之而降低，这同样不利于医院的发展。基于这种考虑，我们设想定义一个医生工作强度值，来对这种情况进行解决。我们可以用医生在某一段时间里（针对本题具体情况，可以取2008年7月13日到2008年9月11日这段时间来进行计算和讨论）每天的手术量方差和来表示这个工作强度值，表示如下：

其中，为天数，表示医生在第天所做的手术数，表示医生在这天里每天的平均手术数。

假如有不同的可行解方案，我们就可以通过计算这个工作强度值，对方案进行筛选，选取值小的方案来实施。这样就可以照顾到医生的利益了。

7.2模型的推广

    我们的模型一和模型二均用到了排队论的相关知识，并在模型一中对优先非抢占排队系统作出了一些改进，我们的模型思路，比如说对于优先级随时间变化的考虑，可以应用到很多其他涉及到排队理论的领域，比如银行出纳服务系统、汽车维修工厂等。

8.参考文献

[1] 金国威、陈力、张乃琨、王信安，关于病床工作效率指标的探讨，中国城乡企业卫生，第5期（总第79期）：4-5，2000年。

[2] 王文平，运筹学，北京：科学出版社，2007，308-309。

[3] 孙荣恒、李建平，排队论基础，北京：科学出版社，2002，141-145，55-56。

9.附录

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