眼科病床合理安排[建模竞赛](一)

本文讨论了病床的合理安排问题，属于优化问题中的排队问题。我们根据原始数据利用EXCEL软件进行了统计分析，得出各类眼科病人的平均等待时间等相关数据信息。

对于问题一，我们综合考虑医院与病人的利益，提出了平均病床周转次数、病人住院平均等待时间、等待住院病人队列长度、等待住院病人队列变化趋势这四项评价指标，用以对病床安排模型的优劣进行评价。并利用该评价指标体系对医院当前的病床安排模型进行了评价。

对于问题二，我们基于医院的当前情况，以平均病床周转次数为优化目标，以改进后的优先非抢占排队思想为依据，采用优先级随时间变化的规则来进行病床安排，并根据五类眼科病人的平均住院时间设置了初始优先度值，建立起单目标优化模型一。我们利用模型一对前来门诊的病人重新进行病床安排，得出了相关结果。由结果我们可以看出，模型一可以较好的解决医院的等待住院病人队列越来越长的问题。我们利用问题一里确定的评价指标体系对模型一进行了评价，并将其与医院当前采用的模型进行了对比分析，突显出模型一的优势。

对于问题三，我们根据问题二里得出的病人信息，统计出了各类病人的平均等待时间和等待队列长度，发现在模型一的病床分配方案下，每天门诊总病人数与出院总人数大致平衡。于是，我们可以根据各类病人的等待时间分布来给出门诊病人的入院时间区间：外伤：1天；视网膜疾病：（10，15）天；青光眼：（7，12）天；白内障单眼：（4，8）天。白内障双眼病人需视门诊时间而定。

对于问题四，在周六、周日不安排手术的情况下，利用模型一重新对病人进行入院安排，并用评价指标体系对结果进行了评价，发现分配结果并不理想，等待队列长度很长，且等待入院的病人队列会越来越长。因此，我们认为医院手术时间应该调整，我们建议将白内障双眼病人的手术时间由原来的每周一、周三调整到每周三、周五。

对于问题五，我们利用多服务台排队系统来进行求解。我们以平均逗留时间最短为目标函数，建立起病床优化分配模型，并通过MATLAB7.0软件进行编程求解，得出病人在系统内的平均逗留时间最短为13.92天，五类疾病病床的分配比例如下表所示：

我们在模型改进里对模型一中可能出现的多种可行解提出了一种评价方法，通过定义医生工作强度值来对不同可行解进行评判。

关键词：病床安排 排队论 改进的优先非抢占排队思想 多服务台排队系统

1.问题重述

1.1问题背景

到医院就医时，一般要经历以下过程：到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等。而在这些过程里，往往需要排队等待以接受服务。

现有某医院眼科门诊住院部的大致情况如下：

该医院眼科门诊每天开放，住院部共有79张病床，当前对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）的规则来安排住院的，但是等待住院的病人队列却越来越长。因此，解决该住院部的病床合理安排问题，提高对医院资源的有效利用，以减少等待住院的病人队列就显得很有必要了。

1.2该医院眼科门诊相关信息

该医院眼科手术主要分为四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。

白内障手术比较简单，没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间为1-2天。其中，做两只眼的病人比做一只眼的要多，大约占到60%。如果要做双眼，便安排周一先做一只，周三再做另一只。

外伤疾病通常属于急症，有空的病床时就立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。

其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是手术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。此类疾病急症数量较少，可不予考虑。

该医院眼科手术条件比较充分，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。

1.3需要解决的问题

题目附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。根据这些病人情况和该医院眼科门诊的相关信息，我们需要通过采用数学建模的方法来帮助解决以下问题：

问题一：分析并确定出合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。

问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对我们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。

问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。 

问题四：在该住院部周六、周日不安排手术的情况下，对问题二重新回答，并讨论医院的手术时间安排是否应作出相应调整?

问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。

2.问题分析

医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，题目中该医院眼科门诊对全体非急症病人的住院安排所采取的先到先服务规则，是排队规则中应用最为普遍的一种情形，这种规则能够很好的体现出公平性。然而，从实际情况看来，在这种规则下，等待住院的病人队列却越来越长。因此，改进病床安排规则，更加合理的利用床位资源，对于解决实际的问题是非常重要的。

2.1问题一的分析

问题一要求我们给出合理的评价指标体系，用以对病床安排模型的优劣进行评价。我们首先找出了与病床工作相关的指标，从中筛选出一些指标来作为评价指标体系，用以对病床工作效率进行评价。另外，我们还可以考虑从病人的角度来确定评价指标，使病床分配模型被更多的病人所接受。最终，我们确定了四个评价指标：平均病床周转次数、病人住院平均等待时间、等待住院病人队列长度、等待住院病人队列变化趋势。

2.2问题二的分析

问题二要求我们给出一种合理的病床安排模型，根据已知的第二天拟出院人数来安排病人住院。我们已经知道，医院目前所采用的先到先服务规则无法解决等待人数过多的实际情况。因此，我们重新设定住院病人的排队规则，根据各类病人的平均住院时间对各类病人设定初始优先度值，优先度值越低，其优先级越高，优先级高的病人先住院。同时，为了不使优先级低的病人长期排队而无法入院，我们规定病人每等待一天，其优先度值便减1。根据这种规则，我们以平均周转次数为目标函数建立优化模型，然后用问题一所确定的评价指标体系对模型进行评价，突显模型优势。

2.3问题三的分析

问题三希望可以让病人在门诊时便得知大致住院时间区间，这就需要对当时已住院人数和等待住院人数进行统计，并对已住院病人的出院日期进行预测，然后考虑在具体的病床分配模型下，根据每天门诊人数和病人具体情况和出院人数来对未来的病床使用进行大致安排。

2.4问题四的分析

    问题四假定该医院住院部在周六、周日不安排手术，则原先可以安排在周六、周日的手术必须安排到周一至周五去，这就使得等待住院病人队列更长，也必将导致病床的合理安排更为复杂。在这种情况下，重新对问题二进行回答，然后根据评价结果来确定医院的手术安排是否应该作出相应调整。

2.5问题五的分析

如果按照建议将病床按一定比例分配给各类病人，则对于不同的病人，其所对应能够入住的病床数便会有限制，问题可以等效为多服务台排队问题，我们可以利用排队论中的多服务台排队系统模型来解决这一问题。我们以系统内所有病人的平均逗留时间为优化目标建立优化模型，利用MATLAB7.0软件进行编程求解，得出病床分配比例与平均逗留时间。

3.模型假设

1. 假定该医院眼科手术条件充分，不必考虑手术条件对病床安排的限制；

2. 假定不需要考虑白内障、青光眼、视网膜疾病的急诊情况；

3. 假定对于外伤病人，只要一有空病床，便安排其住院，并在住院第二天后安排手术；

4. 白内障双眼手术时间必须间隔一天；

5. 假定题目附录中给定的数据真实可靠，具有较好的代表性；

6. 我们用序号1-61来对应表示2008年7月13日至2008年9月11日。

4.符号说明

平均病床周转次数；

住院平均等待时间；

等待住院病人队列长度；

：统计时间内的出院人数；

：统计时间；

：平均开放床位数；

：眼科疾病类型，时，分别对应外伤、视网膜疾病、青光眼、白内障单眼、白内障双眼；

：病人的门诊时间；

：病人的入院时间；

：病人的手术时间；

：病人手术后的留院观察时间

：求余运算式；

：各类病人每天前来就诊的人数；

：各类病人的平均住院时间的倒数；

：各类病人在这段时间里前来就诊的总人数；

：种类病人对应分配床位数；

：队列长度期望值；

：期望等待时间；

：期望逗留时间。

5.模型的建立与求解

5.1数据处理

题目附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况，我们利用EXCEL软件对这些数据进行了相关统计分析，得到了相关信息。

5.1.1各类病人就医平均时间

根据统计分析可得，五类病人在就医过程中所经历的平均等待时间、平均准备时间、平均恢复时间和平均住院时间如下表1所示。

表1：各类病人就医平均时间

其中，等待时间为病人入院时间与门诊时间的差值；准备时间为病人做第一次手术时间与入院时间的差值；恢复时间为出院时间与出院前最后一次手术时间的差值；住院时间为出院时间与入院时间的差值。

从上表1中，我们可以看出，除了外伤病人的平均等待时间为1天外，其他眼科病人从接受门诊到住进医院的平均时间都至少需要12天。这五种病人的手术前准备时间与题目中提到的白内障1-2天、外伤1天、其他疾病2-3天大致吻合，只有做白内障双眼手术的病人平均术前准备时间略有出入，至少需要3天。各类病人的平均恢复时间，白内障最短为3天，视网膜疾病最长，至少需要10天。五类病人的平均住院时间长短依次为白内障单眼、外伤、白内障双眼、青光眼、视网膜疾病，其中，视网膜疾病病人平均住院时间最长，至少需要12天。

5.1.2各类病人每天门诊人数

根据统计分析，我们得出五类病人在2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里每门诊的人数，见附录表2所示。

根据表2中的数据，我们利用EXCEL软件进行统计分析。我们采用6SQ统计插件中的假设检验下的卡方拟和优度来对其进行泊松分布的检验，在显著性水平 时，发现五类病人每天门诊的人数和总门诊人数都服从泊松分布。

表3：泊松分布检验

5.1.3其他统计数据

我们通过对题目附录中的病人数据信息进行分析，发现从2008年7月13日到2008年8月7日之间的26天里，入院人数总和（126人）与出院人数总和（47人）的差值为79，刚好等于该住院部的病床总数。由此，我们可以知道，在2008年8月7日的时候，该住院部的病床已经全部被占用。具体每天入院出院人数见附录表4。从表4中，我们可以看到，从2008年8月8日开始（在表3中序号为27），每天入院和住院的人数都相等。

另外，我们可以看到，2008年7月13日前来门诊（外伤除外）的病人（外伤病人除外），直到2008年7月25日才被安排入院，由此我们也可以知道，在这段时间内，医院的病床基本上也是全部被占用了。

5.2评价指标体系（针对问题一）

在本题里，选定评价指标时，我们既需要考虑这些指标对于医院利益的影响，也应该从病人的角度出发，提高病人对于医院服务的满意度。从医院角度考虑，应该使每张病床的工作效率提高，而与工作效率相关的指标[1]有平均病床工作日和平均病床周转次数。从病人角度来说，自然是希望等待住院的时间越短越好。

于是，我们可以尝试从上述两个方面来设定评价指标，用以反映病床安排模型的优劣。通常情况下，医院为了自身的利益，会希望有更多的人前来做手术，而不是有病人长期占用病床，因为相对住院费用来说，手术费用更能增加医院的利益。因此，从医院角度来说，单位时间里越多的病人住院，会使其利益越高。这可以反映到平均病床周转次数上来，平均病床周转次数越高，说明单位时间内住院做手术的病人越多。对于病人来说，把平均等待时间作为评价指标便可以很好的反映出其利益，病人等待住院的时间越短，他们对医院的满意度就会超高。

另外，根据题目里该医院眼科门诊的具体情况，我们主要应该解决的是等待队列越来越长的问题，因此，我们设想将等待住院病人的队列长度也作为评价指标，这样就可以结合本题目的具体情况更加直接的反映出病床安排的合理性。考虑到等待住院病人的队列长度是一个不断变化的值，我们需要另外再设定一个指标来反映其长期的发展状况，我们取定用病人等待住院队列的变化趋势来作为指标反映这一情形。

我们一共得到四个评价指标：

1. 平均病床周转次数：指“出院人数”与“平均开放床位数”之比。

平均病床周转次数=出院人数/平均开放床位数，在本题中，我们用单位时间内每张病床平均每天接待的病人数量来表示平均病床周转次数。

则平均病床周转次数=出院人数/（统计时间*平均开放床位数）。

2. 病人住院平均等待时间：指所有病人从门诊到入院的等待时间的平均值。

    病人住院平均等待时间=（入院时间总和—门诊时间总和）/总人数。

3. 等待住院病人队列长度：每天等待住院的病人人数。

4. 等待住院病人队列变化趋势：等待住院病人人数的变化趋势，我们用图表来表示这一变化趋势。

综上所述，我们可以将上述四个评价指标用如下表5来表示。

表5：评价指标体系

其中，因为题目给定的数据是从2008年7月13日到2008年8月7日这一段时间里的病人信息，因此，我们将平均病床周转次数平均到每一天上。因为图表可以更加明确的反映出变化趋势，所以我们要求用图表形式来表示等待住院病人的队列变化趋势。

5.2.1对医院当前病床安排模型的评价

现在，我们来利用确定出的评价指标体系对医院目前的病床安排模型进行评价。

根据统计数据，我们可以得出，在2008年7月13日到2008年8月7日这61天时间里，一共有349个病人出院，由此我们可以算出平均病床周转次数。在前面的数据处理中，我们已经得出了各类病人的平均等待时间。对于等待住院的病人队列，我们只取2008年9月11日时的人数来表示这个队列长度，即为102人。我们将每天的等待住院病人队列长度值在MATLAB7.0软件上进行三次曲线拟和，得到其变化趋势图形。

各指标值如下：

平均病床周转次数：

病人平均等待时间，见下表6：

表6：各类病人平均等待时间

等待住院病人队列长度：

等待住院病人队列变化趋势，见下图1：

图1：当前模型下等待住院病人队列变化趋势

由评价结果，我们可以看出，在医院当前所采用的病床安排模型下，等待住院的病人队列一直呈上升趋势，住院病人等待队列会越来越长。如果按照这个趋势发展下去，将不利于医院自身的发展，因此，必须寻找更为合理的病床安排模型来解决这一问题。

5.3病床安排模型的建立与求解（针对问题二）

当平均病床周转次数增大，也就是说出院病人的数目在增加，医院就可以进行更多的手术，医院的利益将会增大。因此，我们可以将平均病床周转次数作为优化目标来建立模型。

当出院人数增多，就可以有更多的病人住院，这样就可以减少等待住院的病人数量，从而使住院病人的等待队列逐渐减小。因此，在安排病人住院的时候，我们可以尽量先安排住院时间短的病人住院，使单位时间内出院人数增加，以使等待入院的病人数量减少，从而减少等待住院的病人队列长度。

因此，我们可以按照各类病人的平均住院时间来对各类病人设定优先权，让平均住院时间短的病人先住院，这样就可以增大单位时间内平均病床周转次数。

然而，如果单纯的根据各类病人的平均住院时间长短来安排病人入院时间，就可能导致平均住院时间长的病人始终停留在等待入院的队列中，这肯定是不合理的。从病人的角度来看，随着病人在等待入院的队列中等待时间的不断增加，病人对于医院的不满意度也会随之增长，这就可能导致病人转投其他医院。对于医院来说，当然是不希望看到病人流失的。

为了均衡上述矛盾，在提高平均病床周转次数的同时，又保证病人不流失，我们提出一种基于优先非抢占排队思想的改进排队模型。

5.3.1基于优先非抢占排队思想的改进排队模型

优先非抢占排队系统[2]是指各类顾客有着不同的优先服务权，同类顾客仍然按照先到先服务的规则进行服务，当优先级高的顾客到达系统时，不中断正在服务的优先级低的顾客的服务，而是等到该优先级低的顾客服务完离开后才使用服务台。

在本题目的具体情况下，我们不能直接采用优先非抢占排队思想来建立模型，因为这就相当于只考虑了平均住院时间短的病人优先住院，虽然可以使平均病床周转次数增大，却可能导致优先级低的病人长期无法住院。因此，我们考虑对这种非抢占排队思想进行改进，以解决这一问题。

改进后的排队思想：

我们令顾客的优先级不断变化，即优先级较低的顾客在排队等待的过程中，随着其排队时间的不断增加，我们使其优先级也跟着上升，这样就可以保证优先级较低的顾客在经过一定时间的排队等待后优先级上升到较大值，从而可以接受到服务，而不是一直排队等待下去。

5.3.2模型一建立

根据上述改进后的排队思想模型，我们可以采用这种思想建立病床分配模型。

我们根据统计出来的五类病人的平均住院时间，运用“去尾法”处理之后，将得到的整数值作为各类病人在门诊后等待住院时所对应的初始优先度。

表7：各类病人初始优先度值

其中，我们将外伤一律看作是急诊，赋其优先度值为。对于白内障病人，为方便计算，我们将做单眼手术和双眼手术的病人同等看待，取做单眼手术的平均住院时间，经“去尾法”处理后作为它们的初始优先度值。

排队规则：

我们规定，所有病人在门诊之后，等待的时间每增加一天，其优先度降低1（优先度可以是负数）。医院安排病人入院的时候，在满足术前准备时间（白内障1-2天，其他病科（不含急诊）2-3天）的情况下，按照病人的优先度值从小到大的顺序安排病人入院。同时，考虑到急诊病人需要当病床有空时立即安排住院，我们规定急诊病人的优先度为，即保证无论急诊病人何时门诊，都能在病床有空时立即安排住院。

则我们可以根据上述排队规则建立如下病床分配模型：

目标函数：

约束条件：

其中，表示平均病床周转次数。我们用序号1-61来对应表示2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里的每一天。表示统计时间内的出院人数，，表示统计时间，，表示平均开放床位数，表示病人的门诊时间，表示病人的入院时间，表示病人的手术时间，表示病人的手术后的留院观察时间。 表示求余运算，因为2008年7月13日是星期日，对应序号为1，我们便可以用的值来表示各天时间所对应的星期值，其余数可为0、1、2、3、4、5、6，分别对应星期六、星期日、星期一、星期二、星期三、星期四、星期五。

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